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Die letzten 3 Formeln enthalten nur 3-''~' verschiedene Theta- 

 produkte, weil l^ bei Durchlaufung aller Charakteristiken die Werte v, 

 Vi, vv^ ebenfalls erlangen muss, wodurch immer drei Produkte einander 

 gleich werden. 



Aus diesen Relationen lassen sich dann noch sofort einige Bezieh- 

 ungen zwischen einer geringeren Anzahl von Theta-Funktionen ableiten. 



p-i 

 So gewinnt man z. B. aus (IV) eine Relation zwischen nur 3 -|- 1 Theta- 



produkten, indem man statt (>'), (j^,), zwei Charakteristiken der Gruppe 



(1), (/t), (,«2)- • •(V-i) 



einführt. Es sei {v)^={u.^), (?/,) = (/7^^) gesetzt, dann ist (}/ rj = (uy /y^ ) 



wieder eine Charakteristik der Gruppe. Die in obiger Formel enthaltenen 



Produkte haben nun die Charakteristiken {nß u;,), (uß u'^J, {,Uß Uy /v^ ), und 



es werden daher bei der Summation nach ß immer jene drei Produkte 



einander gleich, welche dadurch hervorgehen, dass (,Uß) den Wert (ft^ /til) 



oder (,u;. u; ) oder endlich den Wert (,«2 f'v f'v ) annimmt. Somit reducirt 



sich die Gliederzahl der Summe auf der rechten Seite auf den dritten 



p-i 

 Teil und man hat eine Relation zwischen 3 -j- 1 Produkten. Solcher 



Relationen gewinnt man aus den vorhergehenden Formeln im Ganzen 



drei, nämlich: 



aus (III) eine Relation zwischen einem Thetacubus und 3^""' Theta- 



produkten ; (X) 



aus (IV) eine Relation zwischen 3p~^-|-1 Theta-Produkten ; (XI) 



aus (V) eine Relation zwischen 3^ Theta-Cuben (XII) 



und 3p- ' Theta-Produkten. 



§ 12. 

 II. Additionstheorem der Thetafunktionen. 



Wie die Goepel'schen Systeme, so bieten auch die Fundamental- 

 systeme ein Mittel, um ein Additionstheorem aufzustellen. 



Seien («i)> («2), («3) • • • («2P+2) 



die Charakteristiken irgend eines Fundamentalsystems, und bildet man 

 daraus die Charakteristiken: 



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