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Man erreicht nun die Legendre'schen Normalformen sofort durch 

 die Substitutionen: 



cos t^o ^- cos V ., 9 



^. — = cos '^ Vf. COS"^ (p 



1 — cos' A cos V " ' 



cos'^ Vq cos^ ^ ( 1 — e'') ^ ,2 cos^ Vq sin^ A 



1 — cos^ A cos** Vo ' 1 ~ cos'' A cos^ v^ 



(4) 



denn nach einfacher Rechnung ergiebt sich 



r m^ ß^ b'^ cos* V 





cos* q)d(p 



8 V ^ — cos'' A co&^Vf, I (1 -[- w sin" q))\/\ — ¥ sin" cp 







Man kann diese Formel auch schreiben: 



r m^ ß^ 6'^ cos* v^ f 1 I ' " cos^ qp (^ ^ , 1 — ^^ 



g = 



3 K 1 — cos"^ cos 



?/ ^ 1 + « 



cosV/')l/l — Ä;"sia9) " ^' 



Z- 



,1^.^} (^) 



wenn K und jE die vollständigen elliptischen Integrale der ersten und 

 zweiten Gattung mit dem Modulus k bedeuten. Man kann nun sofort 

 die allgemein bekannte Legendre'sche Formel: 



sin y cos y ■]/ 1 — h^ sin''^ y 



.f 



cos <jp 



dcp 



(1 — cos'' y cos^ cp) |/ 1 — k^ sin^ q) 



in welcher die gebräuchliche Bezeichnungsweise in Anwendung gebracht 

 ist, benutzen, wenn man in (5) setzt 



n _ cos^ w, cos^ A {1 — e') 



COS"/- 



l-{-n 1 — e^ cos^ Vo cos" A 



Hierdurch ist die Berechimng von (5) auf elliptische Integrale der 

 1. und 2. Gattung zurückgeführt und die Benutzung der von Legendre 

 für diese gegebenen Tafeln kann sofort eintreten. Für die im Folgenden 

 ausgeführten Rechnungen war indessen eine weitere Reduction nicht un- 

 wichtig, die vorerst noch gegeben werden soll. 



