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wodurch wird 



Ott . . of / ^ sin 2 qp + 7c — 2 cp 



Führt man also folgende Hülfsgrössen ein: 



a 



^o = ^cosA-{(p — ^sm2(p) 



a 



^1 = -H" COS ^ ■ [ti — ((p — ^ sin 2 (p)] 



V — V V 



SO wird schliesslich: 



8 = 2. dA (6) 



Aus dieser Formel folgt sofort auch, welcher der beiden Ringränder 

 den Schatten wirft; denn der Ausdruck für -S muss positiv sein. 



2. Fall: Die Ellipsen (3) und (5) schneiden sich auf der Planeten- 

 scheibe. Zur Erledigung dieses Falles muss der Durchschnittspunct 

 aufgesucht werden. Derselbe ist aber durch die Bedingung r =r ge- 

 geben. Es gilt also für ihn : 



*^"= TA— ^7) 



wie eine Betrachtung der rechten Seite der Gleichung (6a) ergiebt. 



Man sieht übrigens aus derselben Gleichung, dass die geforderte 

 Bedingung r'>r erfüllt ist wenn: 



d Atgv:>l' sin^-^ cos A 

 Setzt man diesen Bemerkungen gemäss: 



° ^ > (8a) 



tg ^2 ^ tg 1/^ sin A J 



so wird man sofort ersehen können, ob Fall 1 oder 2 stattfindet. Liegt 

 V., nicht zwischen Vq und Vj, wo v^ und v^ die bei Fall 1 berechneten 

 Winkel sind, so ist Formel (6) anzuwenden. Ist aber ^^o<^2<^l5 so kann 

 auf folgende Weise verfahren werden. 



Bezeichnet man mit 2 S{Vq\ 2 5(«;,) und 2 ^(^2) die Werthe der rechten 

 Seite von (6a), wenn für v resp. v^, v, oder v^ in die Integralwerthe ein- 

 gesetzt werden, so ist : 



