106 



welche Herr De Paolis dieser Abbildung gewidmet hat,^) die üntersysteme, 

 noch finden sich dieselben sonst irgendwo hervorgehoben. 



Ich erlaube mir daher, eine systematische Behandlung der Theorie 

 dieser Systeme (in Nr. 1) mit einer Reihe von Ausführungen (in Nr. 3 — 7), 

 im Anschluss an die aus Nr. 1 folgende Abbildung (Nr. 2), hier vorzu- 

 legen. Ich thue dies auch aus dem Grunde, weil von den unzähligen 

 Sätzen über Lagenverhältnisse der Schnitt- und Berührungspunkte der 

 Doppeltangenten und der Berührungscurven von 12 überhaupt, welche 

 unsere allgemeine Methode alle als specielle Fälle in sich begreift, bisher 

 nur die allereinfachsten ausgesprochen worden sind; beschränke mich 

 aber in den Beispielen von Nr. 7 auf einige die Doppeltangenten betref- 

 fenden Sätze. 



Ferner benutze ich die Gelegenheit, um in (Nr. 1 — 4) einmal eine 

 vollständige algebraische Begründung der Charakteristikentheorie zu 

 geben, die zu den £2 in 1*"'" Ordnung berührenden Curven gehört. Diese 

 Theorie ist bisher entweder aus transcendenten Beziehungen abgeleitet, 

 oder, wenn algebraisch, nur ganz unvollständig begründet und entwickelt 

 worden. Der Theil der Begründung, welcher zum Nachweise der völligen 

 Gleichartigkeit der 36 eigentlichen geraden Charakteristiken unter sich etc. 

 sich der Cremona'schen Ebenentransformationen bedient, findet sich auch 

 in der De Paolis'schen Abhandlung (auch implicit in meiner Note über 

 Thetafunctionen, Erl. Berichte, 1878). Da diese Theorie, insbesondere der 

 letzte Satz von Nr. 4, so unmittelbar und mit so grosser Leichtigkeit 

 aus jedem einzelnen Doppeltangentensystem die allgemeinsten von den- 

 selben Eigenschaften anzuschreiben erlaubt, so habe ich in Nr. 7 die 

 Sätze meistens nur an speziellen einzelnen Systemen ausgesprochen. 



2) ,La trasformazione piana doppia di terzo ordine primo genere e la sua applicazione alle 

 curve del quarto ordine." (Mem. d. R. Acc. d. Lincei, Ser. 3, Bd. II, 1878.) 



