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1. Berühruiigssysteme. 



Die Grundcurve 4*'*'' Ordnung, auf welche sich alle unsere Betrachtungen 

 beziehen, sei überall mit 



bezeichnet. Sei C'(|) = o eine £2^ an allen Schnittstellen in V^" Ordnung 

 berührende Curve r^^^ Ordnung ; so wird das „ System " der zu C gehörigen 

 Berührungscurven C' an fl definirt durch die Identität 



(1) c'(c-) ■ c (I) = p' (I) - Q' (I) • n (^ , 



wo P (I) = alle möglichen Curven irgend einer Ordnung sind , welche 

 durch die Berührungspunkte der Curve C mit S2 gelegt werden können. 

 Solche Systeme gibt es nur eine endliche Anzahl, indem, wenn man 

 zu Stelle von C irgend eine der Curven C' setzt, das System sich nicht 

 ändert. Man braucht daher für C nur zu nehmen: 



1) jede der Doppeltangenten von i2, was ebenso viele verschiedene 

 „ungerade eigentliche Systeme", oder kurz „ungerade Systeme", liefert; 



2) die verschiedenen Curven 3*"' Ordnung, die -Q in drei gegebenen 

 und drei weiteren Punkten berühren, welche 6 Punkte nicht auf einem 

 Kegelschnitt liegen sollen: die „geraden eigentlichen Systeme", oder kurz 

 „die geraden Systeme" ; 



3) die Kegelschnitte, die -Q in einem gegebenen und drei weiteren 

 Punkten berühren, welche 4 Punkte nicht auf einer Geraden liegen 

 sollen: die „Gruppensysteme"; 



4) C'(|) als Quadrat einer linearen Function. Dieser uneigentliche 

 Fall von 3), in welchem die vier Punkte auf einer Geraden liegen, was 

 C(i) zu einem vollständigen Quadrat macht, führt nur auf Ausdrücke C (i), 

 die vermöge 12 (i) = o ebenfalls vollständige Quadrate sind, und wird im 

 Folgenden nur in § 6, I berücksichtigt. 



Man kann den Systemsbegriff auch so fassen: Zwei Berührungscurven 

 gehören zu einem System zusammen, wenn ihre Berührungspunkte, ein- 

 fach genommen, zwei „corresiduale" Gruppen bilden. Und umgekehrt 



