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bildet jede zu einer Berührungsgruppe corresiduale (und jede residuale) 

 Gruppe von Punkten eine Berührungsgruppe desselben Systems. 



Nimmt man C($) und die Ordnung von P(§) fest an, und legt alle 

 Curven P(|) dieser Ordnung s, so erhält man eine quadratische Schaar 

 von Curven C'(§) = o, der Ordnung / = 2 s — r, von der Mannigfaltigkeit 

 oo2r'— 3 (ausgenommen / = 1), wenn man vermöge der Gleichung 

 f2{^) = o reducirt; also eine quadratische oo2»' — 3 Schaar von Gruppen 

 von je 2r doppelt zu zählenden Punkten auf S2. Ohne Reduction durch 

 S2 (I) = wird die Schaar der C' (|) = o eine quadratische oo i '"' (»"' — i) 

 Schaar, indem zu den 2r — 3 quadratisch eingehenden Parametern jener 

 Schaar noch 4-(r' — 3)(r' — 2) linear eingehende hinzukommen. Die 

 Gruppen von je 2r' Punkten, alle einfach gezählt, bilden auf X2 eine 

 lineare Vollschaar, ausgeschnitten von den Curven P($) = o. 



Im Folgenden sollen ausgezeichnete Theilschaaren der oo *''('' — i) 

 Schaar von Curven C (|) = o betrachtet werden, nämlich solche , welche 

 ausserhalb S2 bewegliche Doppelpunkte besitzen und doch die Para- 

 meter in keiner weiteren Irrationalität enthalten, als die Grundschaar, 

 also quadratische Schaaren bleiben. Man erreicht dies dadurch, dass 

 man die Function Q' (i) in Gleichung (1) zu einem vollen Quadrat werden 

 lässt, wobei man aber r im Allgemeinen nicht mehr auf 1, 2 oder 3 re- 

 duciren kann. 



Sei nämlich in (1) C{^) = o eine irreducible Curve r^^'' Ordnung, welche i2 

 in 2r Punkten «j, a^,---- a^., berühre und d Doppelpunkte ß^^ß^^ ■■■■ ßd ausser- 

 halb Q besitze. Man lege die Schaar F{^) = o der Curven s^^"" Ordnung 

 (s^r), welche durch die Punkte a und ß gehen: 



(2) ;ioPo+^iAH [-i,Pt + K.c=o, 



wo die li willkürliche Parameter, K eine beliebige Curve (s — r)*^'' Ordnung 

 und 



t^rs — }(r—l){r—2) — {2r ^ d)= r{s -2)—2 d — mr—l)(r—2)—d] 



ist. Dieselben treffen C =^ o in einer oo '-Schaar von Gruppen von je 

 r{s — 2) — 2 d Punkten. Nun wird später gezeigt werden, dass eine Reihe 

 von Fällen existirt, in welchen diese Gruppenschaar identisch ist mit 

 derjenigen, welche von zu C adjungirten Curven (s — 2)'"' Ordnung 



(3) X,Q, + A,Q,^...-^l,Q, + rC=o 



