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Dann folgt Gleichung (6), auch wenn C aus drei Doppeltangenten 

 T, , Tg , T3 besteht. Denn sei ß der Schnittpunkt von Tj , Tj so bestimme 

 man ^ in P- — ^Q-£2 ^ so. dass diese Curve noch durch einen weiteren, 

 als die festen Schnittpunkte mit T3 geht: diese Curve wird dann Tg zum 

 Factor haben; der Rest, eine Curve 5^*"" Ordnung, die T, und T, in je 6 

 festen Punkten trifft, wird noch Ti To als Factor enthalten müssen ; man 

 hat also Gleichung (6). 



Die so gefundenen Curven C' (|) = werden eine Unterklasse von 

 cx) ^ Curven B**"" Ordnung, welche alle ii in je 6 Punkten berühren, je einen 

 beweglichen scheinbaren Doppelpunkt besitzen und sich zu je zwei in 

 nur einem wirklichen Schnittpunkt treffen, gelegen auf der Verbindungs- 

 geraden N ^ der Doppelpunkte der beiden Curven. 



Setzt man also 



(16) 



Qy^ = Po{i) + Qoi^)V^-{?) 



so entsprechen den Geraden Sl^y^^^o die Curven C''(^) = o, in nur 

 einem Blatte genommen, und es werden auch die li : ^2 : I3, sowie — ^— , 



rationale Functionen von ?/,. y^, y^. Die charakteristischen Eigenschaften 

 der Umkehrungsformeln lassen sich unmittelbar angeben. Den beide 

 Blätter durchsetzenden Geraden der doppelten ^"-Ebene J entspricht in 

 der einfachen Z-Ebene eine lineare oc^-Schaar von Curven, von der Ord- 

 nung der C\ also von der 3*'''' Ordnung. Diese Curven müssen, da die 

 ihnen ein-zweideutig entsprechenden Geraden der Doppelebene ^ je 4 Ver- 

 zweigungspunkte haben, das Geschlecht 1 haben, also ohne Doppelpunkte 

 sein; und je zwei der Curven dürfen sich in nur 2 beweglichen Punkten 

 treffen, d. h. sie müssen 7 feste einfache Punkte gemein haben. Man 

 hat somit: 



(1 7) (7 li == /; {y) , (7^2 = ^2 (y) , als = T\ {y) , 



wo die r Curven B*®'^ Ordnung mit 7 gemeinsamen einfachen Punkten 



sind. 



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