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Geht man umgekehrt von einer solchen Schaar (17) aus, so kommt 

 man auf eine doppelte Ebene I mit Uebergangscurve i2, 4*®'" Ordnung vom 

 Geschlecht 3, die der Jacobi'schen Curve 



(18) ^W = ^+'^^gj 



der Schaar (17), einer Curve 6''*'^ Ordnung mit Doppelpunkten in a,,-a7, 

 eindeutig entspricht. 



Es wird vermöge (17) 



(j*i2(|) = ^^(3/), 



was die Umkehrung (17) von (16) ergänzt. 



Die wirkliche Ausrechnung der Umkehrung (17) von (16) ist für 

 das Folgende unnöthig. Ich bemerke desshalb nur: Fasst man die y als 

 Liniencoordinaten der Ebene i" auf, so geht wegen der aus (4) folgenden 

 Gleichung 



(19) yiQi — y2Qo + y%i>=o 



die Linie {y) durch den entsprechenden Punkt (i^); und zwar kann man 

 durch Bilden der zweiten Polare von (^) in Bezug auf die linke Seite 

 von (6) zeigen, dass in (16) einem Punkte (§) gerade die beiden Doppel- 

 punktstangenten {y) derjenigen Berührungscurven 3**' Ordnung, C' (^) = o, 

 entsprechen, die in (|) ihren Doppelpunkt hat; einer Geraden [y) der 

 Schnittpunkt auf {y) von irgend solchen zwei Curven C' (S) = o, die ihre 

 Doppelpunkte auf (y) haben. Diese Betrachtung liefert ferner aus (16) 

 zu (19) eine zweite Gleichung, die rational in den | und den y ist, und 

 zwar von der Dimension 1 in den i', 2 in den y. Somit kömmt man 

 durch diese Rechnung auf den Ausgangspunkt von Aronhold für die 12^*) 

 zurück, und der Weg der Abbildung selbst ist im Wesentlichen der 

 von Clebsch,'^) aber mit Vermeidung aller räumlichen Betrachtungen 



Die Einzelheiten der Abbildung sind folgende: Während den Geraden 

 von Y im Aligemeinen in Z in nur je einem Blatte laufende Curven 



1) Aronhold, Monatsber. d. Berl. Akad. 1864. Clebsch-Lindemann: , Vorlesungen", Cap. über 

 Connexe. 



2) Clebsch, Math. Annalen III. 



