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3. Discussion der einfachsten Berührungscurven an i2 

 und ihrer Untersysteme. 



Zur Discussion der Berührungssysteme an i2 aus der Abbildung ist 

 zunächst zu bemerken, dass zwei übereinander, aber getrennt laufende 

 Curven von .T immer gleichzeitig behandelt werden können; sie führen 

 auf zwei Curven von Y, die in der durch die Punktepaare von Y ver- 

 anlassten involutorischen eindeutigen Ebenentransformation einander con- 

 jugirt sind. Bei dieser entsprechen den Geraden von Y Curven 8*^"" Ord- 

 nung von Y, welche die a,- zu dreifachen Punkten haben. Die 28 Doppel- 

 tangenten mit ihren Bildern und den Charakteristiken ihrer Systeme sind 

 in Nr. 2 schon aufgezählt; wir leiten jetzt die Berühr ungscurven 2*^'' und 

 und 3*"'' Ordnung, *>''-' und *^^*, ab. 



I. Berührende Kegelschnitte, 05^^\ 



Für irgend zwei Kegelschnitte eines Gruppensystems, C,C', gilt 

 Gleichung (6) von Nr. 1, wobei Q eine Constante wird. Alle diese Kegel- 

 schnitte machen also |/i2 rational und müssen sich aus den, sich nicht 

 selbst conjugirten, Curven 1'"' bis 6*®'' Ordnung der Z-Ebene ergeben. Es 

 finden sich folgende oo^-Schaaren, denen ich Gruppencharakteristiken zu- 

 schreibe, die als Indices angeschrieben sind: 



a) 4>si; Bild in Y: Li{ai), bez. L^{aial — a^) . 



b) ^ilW I ßild in Y: jLo(ffi öfa^ga^), bez. i^ («i Og «3 «4 «I «e ^7) • 



c) ^'12 • Bild in Y: L^{d\a^-- ■ a.j), bez. L.^{a\a^-- -a^), 



sowie die durch Vertauschung der Zahlen 1 •• • 7 sich daraus ergebenden 

 Schaaren. 



Dies sind im Ganzen 7 -j--^-^ + :j— 5 = 63 oo'-Schaaren. Dass die- 



selben unter sich gleichberechtigt sind, sieht man so: Macht man auf 

 die Ebene Y eine quadratische Transformation mit den Grundpunkten in 

 «2,03,04, so erhält man aus den Curven /^(öi,- -ö;) Curven 7'3(a',,-' f? 7) 

 der neuen F'-Ebene, und den Geraden der letzteren durch o[ entsprechen 

 die Kegelschnitte b) durch a, , a., , a^ , a^ ; zwischen Y' und ^ herrscht aber 

 eine der zwischen Y und Z bestehenden völlig analoge Beziehung. Ebenso 



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