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Man hat: 



a) <Pf^^ ; Bild : L^{ai--- a^) , bez. Lg {al a| • • • a,) . 



b) (Pf^; Bild: /v4 («i a2 «3 • • ■ «7) , bez. Z5(a, a2 «3 •••«;) , 



mit den Vertauschungen l,--7. Diese Curven 0'^' haben keine schein- 

 baren Doppelpunkte, weil sich die beiden Bilder einer solchen Curve nur 

 je in 6 Punkten auf J schneiden. Wohl aber könnte man jeder der 

 28 Schaaren noch an irgend einer Stelle der Doppelebene einen wirk- 

 lichen Doppelpunkt geben, nur dass dann die Gesammtheit der 00^ Curven 

 mit Doppelpunkt in einer Schaar keine quadratische Schaar mehr bildet; 

 stellt man vielmehr mit einer solchen Curve C mit Doppelpunkt ß 

 Gleichung (6), Nr. 1 für r=3, 5=3 auf, so erhält C', statt eines be- 

 weglichen Doppelpunkts, einen festen Punkt in ß. In einer Schaar <P[^^ 

 ist dagegen als ausgezeichnet enthalten: die zugeordnete Doppeltangente 

 t^^, verbunden mit allen doppelt genommenen Geraden. Zwei der Curven 

 einer Schaar 4*1^^ treffen sich in 3 wirklichen, auf einer Geraden liegenden, 

 und 6 scheinbaren, auf einem Kegelschnitt liegenden, Schnittpunkten. 



III. ß berührende gerade ö>''', mit einem scheinbaren Doppelpunkte. 



Die Berührungscurven 3**"" Ordnung, deren je 6 Berührungspunkte 

 mit S2 nie auf einem Kegelschnitt liegen, bilden quadratische 00^-Schaaren; 

 und darunter erhält man aus der Abbildung folgende Unterschaaren von 

 00^, nur immer in je einem Blatte laufenden, Curven, analog der oben 

 zur Abbildung benutzten ünterschaar: 



ai) 0{i^'; Bild: L,, bez. Lg (aj ■ • • a'^) , 



^2) *^o^' j ßild : L^ («j «2 • ■ ■ «7) , bez. L^ (al--- a,) . 



bi) *^8?23 = ^4567 ; Büd : jL.2(ai «oas), bez. LT{alalalal'-a^), 



bo) *8i23 = *«67 ; Bild : L., (a? a, ■ a,) , bez. Lg («, al a\a\-- a?) , 



bu) *^8m = *4567; Bild: L^{a^a,^a^(^^d,(r^,\i&i. L^(a\a\a\a^a-^a^(^^, 



mit allen Vertauschungen der Zahlen 1-7. Dies liefert aus aj) und ao) 

 1 -f- 7 = 8 Unterschaaren, denen die Charakteristik 



(o) = (123---78), 



