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wird, und 2 der Doppeltangenten ^g,, tg,. werden vor der dritten ausge- 

 zeichnet, so gibt es unter den 8 zu (o) gehörigen 7 -Systemen ai), ag) nur 

 eines, welches jene beiden, tg,-, t^^ enthält, nämlich a^}; womit die Be- 

 hauptung am Schlüsse von Nr. 2 gerechtfertigt ist. 



4. Charakteristikentheorie. 



In Nr. 3 haben wir für die 28 Doppeltangenten, für die 36 geraden 

 00 ^-Schaaren von 0^^' und die 63 oo'-Schaaren von (p'-^\ und damit für 

 alle Gesammt-Berührungsschaaren, Systems - Charakteristiken eingeführt. 



Zunächst lehren die dortigen Betrachtungen, dass der Index 8 dabei 

 vor den übrigen Indices I, 2, •••7 nur in der Abbildung mittels ai) 

 von III, Nr. 3 bevorzugt war, an sich aber denselben in Bezug auf f2^ 

 völlig gleichwerthig ist. Die bez. Charakteristiken sind also: 



für die Doppeltangenten : (^ k) , 

 „ „ geraden <i>^^^: (0)= (123 •■■ 78), (iklm) = (npqr), 

 „ „ «i»*^': [ik], [iklm] = [npqr], 



wo i, k,--q,r von einander verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, 2 • ■ ■ 8 sind. 

 Auf diese Zeichen wende man folgende Rechenregeln an: 



Es ist 



(«1) + («2) + («3) = («1 «2 «3) ) 



(«1) + («2) = [«i] + [«2] = [«1 «2] , 

 also 



[«i] + («2) = («1 «2) » 



wobei in einer Charakteristik die einzelnen Zahlen beliebig geordnet, 

 zwei gleiche weggelassen werden können, und wobei 



[123---8] = 



gesetzt und in Combination ebenfalls weggelassen wird. Daraus folgt 

 schon 



(12---8) = (o), (1234) = (5678), [1234] = [5678]. 

 Man hat dann den Satz: 



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