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Ist die Summe zweier Charakteristikencombinationen = o, 

 so bilden die beiden entsprechenden Curvencombinationen 

 zwei Berührungscurven eines Systems. 



Zum Beweis genügt es, alle Charakteristiken aus Zeichen {ik) zu- 

 sammenzusetzen und denselben Doppeltangenten zuzuordnen; und zwar 

 braucht man nur den Satz in der Form nachzuweisen: 



Liefert die Summe der Charakteristiken von 2.s Doppel- 

 tangenten 0, so liegen deren 4s Berührungspunkte mit S2 

 auf einer Curve s*'"' Ordnung. 



Der Beweis ergibt sich aus Nr. 3, durch den Schluss von s — 1 auf s. 

 Für 5=1 ist der Satz selbstverständlich; für s = 2 ist derselbe in Nr. 3, I 

 entwickelt. Ist s = 3 : 



(«.) -h («..) + («3) + {"^) + («5) + K) = , 



und (ßj) 4- (ßo) + («3) = («i cfg «3) = («) eine ungerade Charakteristik, so wird 



(«1) + («2) + («3) -r (t«) = , 

 («4) + («5) + f'^^e) + (t<) = ; 



nach dem für s = 2 Gesagten bilden also die 6 Berührungspunkte der 

 drei zu (a^), («3), («3) gehörigen Doppeltangenten (einfach genommen) eine 

 zu den 2 Berührungspunkten der Doppeltangente («) corresiduale Gruppe 

 auf i2; ebenso die 6 Berührungspunkte der drei zu (aj, («5), (ßj gehörigen 

 Doppeltangenten, so dass also diese Gruppe von 6 Punkten auch jener 

 Gruppe von 6 Punkten corresidual ist, Wird aber bei s = 3 («j a^ «3) = («) 

 eine gerade Charakteristik, so kann man zunächst («) =1 (0) annehmen, da 

 sich die übrigen Fälle vermöge Cremona'scher Transformationen der Y- 

 Ebene nach III, Nr. 3 daraus ergeben; es sind dann nur die Zerlegungen 



möglich 



{o) = (ik)-^ill)-^(kl), 



die nach III, Nr. 3 wieder nur zu einander corresidualen Gruppen von 

 je 6 Punkten auf S2 führen, alle dem System (0) angehörig. 

 Bei allgemeinem 's zerlege man die Summe 



(«1) + («2) H h («2s) = 



in 



(«:) + («2) + («3) + («4) = [«] = iß:) + (ß2) 



(«5) + («e) H h («2.) = [«] = (/?.) + (/?2) ; 



