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so wird nach den Fällen s = 3 und s — 1 (bez. wenn [a] =: o nach den 

 Fällen für noch niedrigere s) sowohl die Gruppe der 8 Berührungspunkte 

 der («,) • • ■ («4) zugeordneten Doppeltangenten, als die Gruppe der 4 s — 8 

 Berührungspunkte der (a^) ■ ■ • (a^^) zugeordneten Doppeltangenten zur Gruppe 

 der beiden Berührungspunkte der beiden {ß^} und (ßz) zugeordneten Doppel- 

 tangenten corresidua], so dass jene Gruppen zu einander corresidual werden. 



In der Abbildung ist der Uebergaug von den (o) zugeordneten Curven 

 zu den den übrigen 35 geraden Charakteristiken zugeordneten Curven 

 durch Creniona'sche Transformationen der Z-Ebene bewirkt worden. Ueber- 

 trägt man dies auf die Charakteristiken - Bezeichnung , so erhält man 

 folgende erlaubte Charakteristikensubstitutionen, durch welche nun die 

 Auszeichnung von (0) aufgehoben werden kann: 



Wenn [s] eine beliebige Gruppen-Charakteristik, so ist 

 [&} eine Substitution, welche eine eigentliche Charakteri- 

 stik (a) in (as) oder (a) transf ormirt, je nachdem (a) und (as) 

 gleichen oder entgegengesetzten Charakter des Geraden 

 und Ungeraden haben; also eine Gruppencharakteristik [n] in [as] 

 transformirt, wenn, für [a] ^ (a,) -|- («2), nur eine- der beiden Zahlen (aj), 

 («2) durch {s} verändert wird, sonst aber [a] unverändert lässt. 



Man kann dann irgend eine andere gerade Charakteristik, z. B. (4567) 

 = (1238), mit (0') bezeichnen, die Doppeltangenten mit {i' k'), und zwar etwa 

 die 7 von b',) Nr. 3, III der Reihe nach mit (8' l'),----(8' 7'); so vertritt 

 dieses System in der Bezeichnung die Stelle des ursprünglichen. 



Damit ist die ganze Charakteristikentheorie ^) für unsere Berührungs- 

 curven an 12 aufgestellt, und zwar algebraisch begründet. 



5. Die Berühvungsschaareii *''\ <#»'^', *P^^\ 



I. Berührungscurven ©<*) mit je einem scheinbaren Doppelpunkte. 



Zu jeder der 63 Gruppencharakteristiken [a] gehört eine 00^-Schaar 

 von Curven 4''"" Ordnung, ^^*\ welche S2^ in einer oo"-Schaar von Gruppen 

 von je 8 Punkten berühren. Aus einer solchen Curve C', welche ^2^ 



1) S. insbesondere meinen Aufsatz: ,Ueber die Gleichungen S^^° Grades und ihr Auftreten 

 in der Theorie der Curven 4ter Ordnung", Math. Ann. XV, § 7. 



