126 



wenn man [a]=r[81] und (ik) ^= (81) also (aiJc)^{o) nimmt, die beiden 

 Schaaren : 



Lg («1 «2 ■ • • a,) - Li und L^ (aj ag • • • a,) , 



also Bilder von t^^ . verbunden mit der Schaar (pf^ aus a,) bez. ag) von 

 III, Nr. 3 ; und dieses zeigt zugleich , dass der Satz von III, Nr. 3 ein 

 spezieller Fall des obigen in I dieser Nummer ist. 



II. Berührungscurven (D<^*'> mit je 2 scheinbaren Doppelpunkten. 



Diese Curvenschaaren, von der Mannigfaltigkeit oo*, lassen sich nach 

 den Formeln (2) — (6) von Nr. 1 aus Doppeltangentenpaaren C, mit je 

 einem scheinbaren Schnittpunkt, ableiten. Sei 



ein solches Paar, so kann man in (2) Nr. 1 setzen: 



P = (Äol, — /, 'Q D -h Ä'- ^'i ^2, Q = Aoli 4- l, I2 



wo D irgend einen Kegelschnitt durch die 4 Berührungspunkte von |„ ^2 

 vorstellt. Denn (4) wird dann, wenn 



F, = {i,-'QB, ^0 = ^1 + ^2: 



^(li 4- 12) (^0 1. — ^i ^'2) — D (^"1 - ^2) ihl + ^i ^2) = 2 (Ao— l,) • |,|2 ■ D- 



Stellt man dann auch hier P' — (jQ^S2 = o auf und bestimmt ^ so, 

 dass diese Curve ^j zum Factor hat , so wird sie , da sie in |] = $0 = 

 zwei zu P = 0, Q = harmonisch liegende Zweige hat, daselbst auch die 

 Richtung von I2 haben, also wegen der 4 weiteren Schnittpunkte mit $2 = 

 auch §2 zum Factor haben; so dass auch hier Gleichung (6) von Nr. 1 

 gilt. Setzt man noch 



so würde 



wo 



C' = (k, I, + ;., i,f a + (ZI2 + 2 l,D) • (K^, — 2X,D), 



mit scheinbaren Doppelpunkten in 



^ li + Ai I2 = , Kio + 2 Aß D = . 



