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mit den Vertauschungen von 1, •■■7. Dies gibt 27 28 oo®-Scliaaren, 

 je zu 27 einem der 28 ungeraden Systeme (ik) angehörig. 



Die Zuordnung der einzahlen Schaaren zu Charakteristikengruppen 

 ergibt sich aus den in jeder Schaar weiter enthaltenen Unterschaaren. 

 In aj ist enthalten als Bild : 



Lo («3 • • • «;) • i>i (di) ■ L'i (rtg) , 



d. h. die Doppeltangente ij,, welcher die Schaar zunächst zugeordnet 

 ist, verbunden mit zwei Berührungskegelschnitten eines Systems; ferner 

 die Doppeltangente t^i, verbunden mit der oo '-Schaar von [82] zugeord- 

 neten Berührungscurven 0'*' aus I dieser Nummer; die übrigen in der 

 Gruppe (12) -|- (81) = [82] enthaltenen 10 Doppeltangenten nur je mit 

 Curvenschaaren <t>^^^ aus II, Nr. 5, die letzten 16 Doppeltangenten je mit 

 Schaaren 0**' aus III, Nr. 5 verbunden. Somit unterscheiden sich die 

 {ik) zugehörigen 27 Unterschaaren 0^®' nach den 27 von <,j. verschiedenen 

 Doppeltangenten, indem in einer solchen Schaar immer nur eine dieser 

 27 Doppeltangenten mit einer 4>^*^ aus I, Nr. 5 verbunden vorkommt. 



Dies liefert auch die Abbildung unserer Schaaren nach Nr. 1. Für 

 aj) gehe man zu dem Zweck in Nr. 1 aus von 



wo 0^1^ ein [82] angehöriger Berührungskegelschnitt ist (mit dem Bilde 

 «i-i, (a.,)), und betrachte also die beiden Schnittpunkte von ^gi mit fp^H 

 als scheinbare Doppelpunkte ß^, ß^ von C. Die Curven 4*^'' Ordnung, 

 P ^ ^ von (2) Nr. 1 , treffen dann nur ^^1' in oo^ Gruppen von je 2 

 beweglichen Punkten; den durch ^, und ß,^ gehenden Kegelschnitten Q, 

 welche diese Gruppen ebenfalls ausschneiden, kann man also noch vor- 

 schreiben, dass in ß^ die Richtungen von P, Q harmonisch liegen zu denen 

 von C. Dann folgt aber Gleichung (6) von Nr. 1, und damit in den C' 

 die gesuchte oo "-Schaar von 0j|'. Die vier Doppelpunkte einer 

 solchen Curve liegen mit ßnßi und mit zweien der Schnitt- 

 punkte der Gurve mit 0^1^ auf einem Kegelschnitt; ihre 

 10 Berührungspunkte, ihre 4 Doppelpunkte und die zwei 

 Berührungspunkte von ^gi bilden die 16 Basispunkte eines 

 Büschels von Curven 4'^'' Ordnung. 



