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Setzt man aber 



so ist 



AB-' = W, 



BW= WE. 



Und ist umgekehrt B eine mit W ertauschbare Form von nicht 

 verschwindender Determinante, so sind 



F, = FB-\ 

 Q, = B-'EBQ, 



zwei Formen, welche die Gleichungen 



P,BQ,=B,, 



befriedigen. Es giebt daher genau so viel linear von einander 

 unabhängige Substitutionen von nicht verschwindender 

 Determinante, welche die Schaar A — rB in A^ — rB^ trans- 

 formiren, als es linear von einander unabhängige Formen 

 von nicht verschwindender Determinante giebt, die mit 

 W^AB~^ vertauschbar sind.^) 



8. Wird eine Form A von nicht verschwindender Determinante durch 

 zwei Substitutionen F und Q in sich transformirt, so ist 



PAQ = A. 



Alle Formen B, welche gleichfalls durch P und Q in sich 

 transformirt werden, ergeben sich aus der Gleichung 



B = SA, 

 falls 



SP=PS 



genommen wird. Ist nämlich 



PBQ=:B, 



so ist auch 



PBA-'P-'A = B, 



1) Alle Substitutionen P, Q, welche die Schaar A — rB in sich selbst transformiren , sind 

 daher in den Formen P=J5^-'ii-', Q = B-^RA enthalten, wo R eine mit AB—^ vertausch- 

 bare Form ist. 



