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wird. Und zugleich können die Determinanten von w, und u^ nur dann 

 von Null verschieden sein, wenn die Formen P, und ^i sowie P.^ und Q.2 

 zu einander ähnlich sind. 



10. Eine Form von der Gestalt + J.(J.')~' heisst nach Herrn Rosanes') 

 antisymmetrisch. Damit eine Form 8 von nicht verschwindender 

 Determinante antisymmetrisch sei, ist nothwendig und hinreichend, dass 

 die Elem entartheiler ihrer characteristischen Function paar- 

 weise von gleichem Grade sind und für reciproke Werthe 

 verschwinden, und dass entweder diejenigen Elementar- 

 theiler, welche von der Form (^-|-1)^'^ {q — i)2'f+i sind, paar- 

 weise auftreten, oder dass dieses mit den Theilern der 

 Form {()—Vf\ ((>.-l-l)"-i der Fall ist. 



Unter der genannten Voraussetzung ist nämlich die Schaar S — i)E 

 einer Schaar mit conjugirten Grundformen W^^()W^ äquivalent^), also 



oder 



Demnach ist 

 Setzt man also 

 oder 

 so wird 



psq=w, 



PQ =±W\ 



S = ±P~'Q'P'Q-\ 

 P-' Q' A 



PQ-^ = {AY\ 



8 = ±A{AY\ 



wie zu zeigen war. 



11. Das Problem, alle Formen P zu finden, welche der Gleichung 



PA = AP 



genügen, also mit A vertauschbar sind, ist zuerst von Herrn Frobenius 



1) Borchardt's Journal Bd. 80, S. 61. 



2) F., S. 22. Diese Untersuchung beruht auf dem wichtigen Satze des Herrn Kronecker 

 über die Elementartheiler einer aus conjugirten Grundformen gebildeten Schaar, K. S. 442. Man 

 vgl. auch den von Herrn Stickelberger gegebenen Beweis desselben, Borchardt's .Journal, 

 Bd. 86, S. 42. 



