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1) Ü'SU=S, 



also auch 



2) U'{S^(jS')U=S-\-(j8\ 



Eine solche Substitution transformirt demnach die ganze aus con- 

 jugirten Grundformen gebildete Schaar S-\-()S\ insbesondere also 

 auch die symmetrische Form 5*+ 5", sowie die alternirende <S — iS' 

 in sich selbst. 



Es ist ferner nach 1) 



U'S(U^(jE) = {;S^iJ U'S) = (iJ+ (> U') S, 

 oder 



3) WSiU^(jE) = i>{U'^Q' E)S, 



falls unter (j' der reciproke Werth von q verstanden wird. 



Bezeichnet man den Werth der Determinante von U durch f, setzt 

 man zugleich voraus, dass \S nicht verschwindet, so folgt aus 1) nach § I, 1. 



und aus 3) 



4) ■ f^U^i>E\ = (j"\ü'^(j'E\. 



Die Substitution heisst bekanntlich eigentlich, wenn (■ gleich -j- 1, 

 dagegen uneigentlich, wenn (■ gleich — 1 ist. Man hat daher die 

 bekannten Sätze: ^) 



Bei einer eigen tlichen (uneigentlichen) Substitution und 

 ungeradem n ist (> = -|-- 1 ((> = — 1) eine Wurzel der cbaracteristischen 

 Gleichung 



5) !C/— (>^|=o. 



Das Product aller Wurzeln der cbaracteristischen Gleich- 

 ung 5) hat den Werth s. Bei einer eigentlichen {uneigentlichen) 

 Transformation ist die Anzahl der Wurzeln ()= — 1 immer eine gerade 

 (ungerade). Bei einer uneigentlichen Transformation und geradem n sind 

 jj = + 1 Wurzeln der Gleichung 5). 



Die Gleichung 5) hat nach 4) nur reciproke Wurzeln, 

 mit Ausnahme der etwa vorhandenen Wurzeln von der Form 



1) F. S. 35. 



