249 



{>= + !. und die zu reciproken Wurzeln gehörenden Elemen- 

 tartheiler haben dieselben Exponenten. Umgekehrt ist durch 

 diese Eigenschaft eine Form U vollständig characterisirt , welche eine 

 Form von nicht verschwindender Determinante in sich transformirt. ^) 

 In der That sind unter dieser Bedingung die Schaaren 



rE—U und rü—E 

 äquivalent, also 



A{rE—U)B = rU—E, 

 oder 



ÄB=U; AUB = E. 



Da ferner U und Z7' ähnliche Formen sind, so ist 



wuw-' = u\ 



also 



WAB W'' = U', 

 oder 



A = TF-' U' WB-' = B-' U-\ 

 d. h. 



ü' WB-'U= WB-'; 



mithin ist WB~^ eine Form von nicht verschwindender Determinante, 

 welche durch ü in sich transformirt wird, und aus dieser findet man 

 alle Formen dieser Art vermöge der Lösung der Gleichung 



PU' = Ü'P 



in der Gestalt 



S = P WB-\ 



Damit eine Form U überhaupt eine Form S in sich 

 transf ormire, deren Determinante auch verschwinden kann, 

 ist nothwendig und hinreichend, dass die characteristische 

 Function von U reciproke Wurzeln, resp. die Wurzeln --\~\ 

 oder — 1, besitze. — Soll nämlich die Gleichung 



überhaupt bestehen, ohne dass alle Coefficienten von S Null sind, so 

 muss eine n- reihige aus den Coefficienten von U und ü~^ gebildete 



1) F. S. 34. 



