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Determinante verschwinden, welche die genannte Bedingung für die 

 char acter istische Function von U repräsentirt. 



Herr Frobenius hat ferner den folgenden Satz bewiesen: 

 Ist eine Substitution £/" in zwei Formen U^--\-U2 zerleg- 

 bar, deren char acteris tische Functionen keine reciproken 

 Wurzeln haben, so ist jede Form S (von verschwindender oder 

 nicht verschwindender Determinante), welche durch U in sich trans- 

 formirt wird, in derselben Weise zerlegbar.') 



Dieser Satz kann in folgender Weise umgekehrt werden: 

 Ist eine Form S (von nicht verschwindender Determinante) zer- 

 legbar in S^~\r S^, und haben die Determinanten, 



keine gemeinsamen Theiler, so ist U in derselben Weise 

 zerlegbar. 



Aus der Gleichung 



folgt nämlich 



Ü[S, {S\)-' + S, (Sir '] = [S, {S\r + S, (Sir] U. 

 und damit der zu beweisende Satz, ^) falls die characteristischen Func- 

 tionen von Si{S\)~^ und i:>2(i^l)~\ d. h. die vorhin angeführten beiden 

 Determinanten keinen gemeinsamen Theiler haben. Insbesondere folgt: 



Ist *S' zerlegbar in 5', -j- S'g und ist Si eine symmetrische 

 respective alt.ernirende Form, so ist U in derselben Weise 

 wie *S' zerlegbar, wenn die Determinanten S'2 — 'S'äl respective 

 |'S'2 + *^2| nicht verschwinden. 



Durch diesen Satz ist zugleich die Transformation der wie *S' zer- 

 legbaren Formen erledigt. 



Ich entwickele nun einige allgemeine Relationen zwischen den Coeffi- 

 cienten einer Substitution U, welche sich freilich auch zum Theil in sym- 



1) F. S. 36. 



2) Vgl. § I, Nr. 9. 



