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die rechte Seite eine ungerade, also e,,, eine gerade Zahl. Und umge- 

 kehrt muss, wenn e,,^ eine gerade Zahl ist, die Differenz rechts aus zwei 

 modulo 2 incongruenten Zahlen bestehen. Bezeichnet man daher mit x 

 irgend eine der Zahlen, welche kleiner als ki ist, so ist zufolge der 

 Gleichung 



e. - e,, - k+^ — (L + ,+y--^l)- [h, + /^i -(?.,+, +^^ + 1)], 

 e^ incongruent e,,^ (mod 2), 



also e^ eine ungerade Zahl. Aus der Gleichung 



- 1 + e,,+, = 4,+, + k, + 1 - (^2 + ^, + 2), 

 in welcher e,.^^., = e^^ zu setzen ist, geht dann hervor, dass 



Es muss also jeder Eleraentartheiler mit geradem Exponenten 

 paarweise auftreten. 



Ist dagegen die Form alternirend, so wird man, so lange das 

 Zeichen von 



positiv ist, die M den w gleich setzen können. Wird aber e{ — 1) ''+^ gleich 

 — 1, so wird die Form H{uv) alternirend und zugleich 



In diesem Falle ist aber /,, — 4^, ungerade, also e,, selbst eine un- 

 gerade Zahl. 



Damit ist der wichtige Satz des Herrn Frobenius') bewiesen: Die 

 Elementartheiler der characteristischen Function jeder 

 Substitution, welche eine symmetrische (oder alternirend e) 

 Form von nicht verschwindender Determinante in sich selbst 

 transformirt. sind paarweise von gleichem Grade und ver- 

 schwinden für reciproke Werthe, mit Ausnahme derer, 

 welche für den Werth -|- 1 oder — 1 Null sind und einen un- 

 geraden (oder geraden) Exponenten haben. 



1) F. S. 41. Dass ein Beweis dieses Satzes mit Hülfe des S. 259 benutzten Ränderungs- 

 principes geführt werden könne, hat schon Herr Stickelberger angegeben, sein Verfahren jedoch 

 nicht entwickelt. Borchardt's Journal, Bd. 86, S. 43. 



