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Aus diesem Satze ergeben sich noch einige weitere Folgerungen. 



Verschwindet für eine Form S (gerader Ordnung) keine 

 der beiden Determinanten |<S' + /S"|, ist ferner g die gros st e 

 Zahl, für welche noch alle Unterdeterminanten n — g*®'' Ord- 

 nung der characteristischen Function \U — (jE\ einer Sub- 

 stitution f/" für (>=: + l verschwinden, so ist q eine ungerade 

 Zahl.') 



Verschwindet dagegen 1^ — S^\, während /S-j-^'j von Null verschieden 

 ist, so sind die Elementarth eiler mit ungeradem Exponenten, welche für 

 (j = + 1 verschwinden, nicht nothwendig paarweise vorhanden. Bezeichnet 

 man daher die ungeraden Exponenten für (j= — 1 mit 



so ist 



also 2:ß^o oder 1 (mod. 2), je nachdem f = -]- 1 oder = — 1 ist. Man 

 hat also auch: 2) 



Sind ?7, Fzwei zugleich eigentliche (uneigentliche) Substi- 

 tutionen, welche eine symmetrische Form von nicht ver- 

 schwindender Determinante in sich transformiren, und ver- 

 schwindet die Determinante von |t/'-|-F|, so verschwindet sie 

 mit einer ungeraden Anzahl von Systemen von Unterdeter- 

 minanten. 



Diese ausgezeichnete Eigenschaft der Wurzel (> = — 1 der charac- 

 teristischen Function von U bei einer eigentlichen Transformation lässt 

 sich in allerdings beschränkterem Umfange auch erkennen, ohne dass die 

 Existenz einer symmetrischen Form von nicht verschwindender Deter- 

 minante vorausgesetzt wird. 



Man hat nämlich vermöge V Sü = S die Identität 



17) (ü' S' -\- S (j){U^o E) = {U' a -^ E)S' ^ ijSiU ^ a E). 



1) Die Substitution in L'^ ist eigentlich, da das Product der Wurzeln der characteristischen 

 Function gleich + 1 ist. 



2) Vgl. Stieltjes, Sur un theoreme d'algebre, Acta Mathem. VI S. 319; Netto, über 

 orthogonale Substitutionen, Acta iVIath. IX S. 291, sowie meine Note in den Göttinger Nachrichten, 

 Juli 1887. 



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