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Setzt man hier (> =: + 1 und 



so folgt 



18) W{U^nE) = W'-^oW, 



und für a =: + 1 



19) (U' S' + S(j){ü-^ E) = {E-\- U')S' + i)S{E ^ ü) 

 (U' 5" + Si)){U— E) = (E— Ü')S' — ()S{E— U) 



Die Formen 



werden dabei durch U in sich transformirt. 



Verschwindet nun | V\ nicht , so sind die Elementartheiler von der 

 Form ((>-!- 1)^*, (q — 1)^*+' in der characteristischen Function von ü stets 

 paarweise vorhanden; verschwindet [TF| nicht, so gilt dasselbe von den 

 Theilern von der Gestalt ((> — 1)'', ((>+l)'''+\ 



Und ähnlich folgt aus 19) 



Verschwindet \U A^ E\ \\U — E'\\ nicht, so hat die characteristische 

 Function jC/''*S"-|-Ä'(>| den Character derjenigen einer Schaar von con- 

 jugirten Grundformen J. -j- (> J.' [ J. — qA^'\. 



Verschwindet dagegen \ü-\-E\ oder \U — E\, so transformirt U eine 

 Schaar von conjugirten Grundformen in sich, deren Determinante iden- 

 tisch verschwindet. 



Aus der Gleichung 16'') ergiebt sich ferner der Satz: Eine alter- 

 nirende Form von nicht verschwindender Determinante lässt 

 keine uneigentliche Transformation zu.^) 



Ist nämlich f = — 1 , so sind « = + 1 Wurzeln der characteristischen 

 Gleichung, und es gilt die Gleichung 16^). Verschwinden also die A;'^" 

 Unterdeterminanten nicht mehr sämmtlich, so ist Ip. ^= o. Dann aber bilden 

 die Werthe conjugirter k^" Unterdeterminanten ein alternirendes System, 

 und die sich selbst conjugirten Unterdeterminanten sind daher gleich Null. 

 Dies bedingt aber nach einem bekannten Satze, dass alle A;*®" Unterdeter- 



1) Vgl. Frobenius, Ueber die schiefe Invariante etc. Borchardt's .Journ. Bd. 86, S. 50. 



