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für irgend zwei conjugirte Wurzeln nicht, so ist der absolute 

 Betrag derselben gleich Eins, d. h. sie sind reciprok, und ist 

 umgekehrt der Betrag nicht gleich Eins, so inuss TV verschwinden. Unter 

 der Voraussetzung, dass die Form S und die Substitution V reell sind, 

 sind nun für zwei conjugirte Wurzeln a und a" auch d' und ()"" con- 

 jugirt. also 



(Ki = Ps, + ^Qsi, 



und 



Ist nun 



:i' = :ix,x„a,,^ oder auch -2"= -S'ä;,.^«,.;^ 



eine definite Form, so ist N von Null verschieden. Daraus folgt: 



Alle Wurzeln der characteristischen Gleichung einer 

 reellen Substitution, welche eine reelle Form S, bei welcher 

 -2" definit ist, in sich transf ormiren, sind vom absoluten 

 Betrage Eins. 



Dann aber sind je zwei complex conjugirte Wurzeln auch reciprok; 

 d. h. es wird die Form M mit N identisch. Hieraus folgt weiter: 



Die characteristische Function einer reellen Substi- 

 tution, welche eine reelle Form S, für die 2 definit ist, in 

 sich transformirt, hat lauter einfache Elementartheiler. 



Man kann diesen Satz noch etwas verallgemeinern. 



Es sei a eine imaginäre Wurzel ß^iy. Dann können in 



die Grössen g-^, nicht sämmtlich Null oder den p^^ proportional sein. Denn 

 die Gleichungen 



^{cui-\-{ß + iy) ('ki)Ps,- =o; k=l, 2 ■ - • w , 

 können nicht bestehen, so lange y nicht Null ist und die Determinante 

 von S nicht verschwindet, da sonst auch alle p^^ Null sein müssten. Da- 

 gegen müssen für jede imaginäre Wurzel die beiden Formen 6) ver- 

 schwinden , da das Quadrat derselben nicht gleich Eins sein kann. Ver- 

 schwindet nun auch die Form A'^ (10), so müssen die Ausdrücke 



