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Die characteristische Function jeder Substitution, 

 welche die Form Sa-\-Sß in sich transformirt, hat demnach 

 den Werth 



(a — (jr+\^-(jYM 



wo M die aus denjenigen c,^ gebildete characteristische 

 Function ist, die den 



i, k= 2?> + 2, 2p + 3, • ■ • w 

 entsprechen. 



§ VI. 

 Symmetrische und alternirende Transformation einer bilinearen Form in sich. 



Die Substitution ü, welche S in sich transformirt, ist eine symme- 

 trische, resp. alternirende, wenn 



U=±U' 



ist. Die Gleichung Ü^SÜ=S geht dadurch über in 



1) ÜSU=±S. 



Aus 1) folgt 



US^= (US) S = ± SiU-' S) = S' u. 



Jede Substitution dieser Art ist daher mit <S^ vertausch- 

 bar. Aber im allgemeinen ist sie auch schon mit S selbst ver- 

 tauschbar. Setzt man nämlich 



ÜS—SÜ=X, 

 so wird 



SX=SÜ8- S'U, 



■ XS=US' — SUS, 

 also 



2) SX-^XS = o. 



Damit die Gleichung 2) eine von Null verschiedene Lösung für X 

 zulasse, ist nothwendig und hinreichend, dass die characteristische Function 

 von S entgegengesetzt gleiche Wurzeln habe.') Man hat daher in 



