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ersten Art in sich zulassen, so muss sie durch orthogonale 

 Transformation in die Summe zweier F'ormen zerlegbar 

 sein.') 



Für eine symmetrische Form ist diese Bedingung immer erfüllt, 

 und es giebt hiernach ebensoviele symmetrische Transformationen der 

 Form in sich selbst, als Zerlegungen dieser Art, die man mit Hülfe be- 

 kannter Untersuchungen leicht bewerkstelligen kann, vorhanden sind. 



Eine alternirende Transformation der ersten Art muss 

 nach 1) der Gleichung 



5) W=—E 



genügen, d. h. es ist 



Die Bedingung der Alternanz aber ist, wenn F' V wieder durch W 

 bezeichnet wird, 



W{E, — E^) + {E,~ Eo) W=o. 



Die symmetrische Form W muss also den Bedingungen 



E,WE,=o, E^WE^ = o 



genügen.^) Da zugleich die Determinante von W nicht Null sein darf, 

 muss n eine gerade Zahl 2 m und die Anzahl der Variabeinpaare in E^ 

 und -^2 dieselbe sein.^) Die Bedingung der Vertauschbarkeit von S und U 

 wird ferner 



SV{E^ — E,) V-' = V(E^ — E.^ V-' 8 



oder nach einigen Umformungen 



r 8V{E, — E^) -f (^j —E^) V'SV=o. 



1) Dass dies auch hinreichend ist, erkennt man ohne weiteres. 



2) Dies ist auch hinreichend. Denn aus den Gleichungen 



E, ZE^ = 0, E^ ZE^ = 

 folgt 



E^ZE^+E^ZE^^Z; 



also 



Z{E,-E,)-\-{E^-E^)Z=^o. 



3) Man vergleiche den Satz X, F. S 26. 



