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Z = X + x> 



gesetzt werden kann. 



Ist dagegen S eine alternirende Form , so hat die Gleichung 1 0) 

 immer Lösungen. Es existiren daher auch immer symmetrische Trans- 

 formationen der zweiten Art, welche eine alternirende Form (von nicht 

 verschwindender Determinante) in sich transformiren. In der That ist 

 das System der Gleichungen 10). wenn man die Coefficienten von Z durch 

 p,,, bezeichnet, 



k,l=l,2-n. 

 Dieselben reduciren sich, wenn die a,-,, alternirend, die p^,, symmetrisch 

 vorausgesetzt werden, auf n(—^-\ Gleichungen, durch welche also die 



p,,, von n homogenen Parametern /^n, Pa-'-p,,,, abhängig werden. Eine 

 allgemeine alternirende Form lässt also immer symmetrische 

 Transformationen mit w Parametern in sich zu. 



Sind dagegen die a,,^ symmetrisch, so reduciren sich die Gleichungen 



— ^— j zwischen den homogenen Parametern p^^, und die 



Bedingung einer gemeinsamen Lösung ist eben das Vorhandensein ent- 

 gegengesetzt gleicher Wurzeln der characteristischen Function von S. 



In speciellen Fällen kann die Mannigfaltigkeit der symmetrischen 

 Transformationen einer alternirenden Form viel grösser werden. Die 

 Krön eck er 'sehe Normalform') der alternirenden Formen von In^ni. 

 Variabein 



S = {X,tJ^ — X,y,) + (^3 Vi — «4 .Vs) + • • ■ {Xm-l y,n — ^m V ,n l) 



ergiebt z. B. im ganzen 



\m{m-\- 2) 



von einander unabhängige Parameter in der symmetrischen Form Z, 

 wovon man sich leicht überzeugt, so wie man beachtet, dass die Coeffi- 

 cienten des folgenden symmetrischen Schema's den Gleichungen 10) 

 genügen 



1) K. S. 405. 



