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6) Die Form T kann nur dann eine symmetrische resp. 

 alternirende Form von nicht verschwindender Determinante 

 sein, wenn S selbst eine alternirende resp. symmetrische 

 Form ist. Denn aus der Beziehung 



folgt unter dieser Voraussetzung 



und umgekehrt ist T eine alternirende resp. symmetrische übrigens ganz 

 willkürliche Form, sobald 8 eine symmetrische resp. alternirende Form 

 (von nicht verschwindender Determinante) ist. Auf dieser Eigenschaft 

 von T beruht die Transformation der alternirenden und symmetrischen 

 Formen in sich selbst'). 



7 ) Ist dagegen die Determinante von T gleich Null und T symme- 

 trisch, so folgt 



d. h. es muss die Determinante von S-\~S^ verschwinden. Diese Bedingung 

 ist aber auch hinreichend. Denn wenn |/S'-[-'S"| gleich Null ist, so kann 

 man durch eine congruente Transformation von nicht verschwindender 

 Determinante W bewirken, dass 



wird, wo E^ nur die Variabeinpaare x^y^, ■ ■ x,,y^ enthält. Ist nun H 

 eine willkürliche symmetrische' Form der übrigen Variabeinpaare, so wird 



1^(^_^^') W'H=o 

 oder 



also auch 



T=W'HW=T\ 



und 



1) Man vergleiche die von Herrn Probenius (F. S. 38) gegebenen Formeln mit der 

 Formel 9'') des § VII. 



