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Ist nun |r|=zP nicht Null, verschwindet dagegen [/S' + 5"|, so ist 

 auch jT' — T| = o; und aus der letzten Gleichung geht hervor, dass Zähler 

 und Nenner auf der rechten Seite mit der nämlichen Potenz von r be- 

 ginnen. Es wird demnach auch für r r= o 



Nun hat Herr Frobenius den folgenden Satz bewiesen: „Ist A eine 

 symmetrische, B eine alternirende Form, ist die Determinante |r J.4-^| 

 nicht identisch Null, und haben ihre für r =zo verschwindenden Elementar- 

 theiler alle einen geraden Exponenten, so ist in der Entwickelung dieser 

 Determinante nach steigenden Potenzen von r der Coefficient des An- 

 fangsgliedes das Quadrat einer rationalen Function der Coefficienten von 

 A und 5."') 



Da nach Nr. 3 die Elementartheiler von T' — qT zugleich die von 

 /S'-)-(>Ä" sind, so folgt: 



Haben die für (>=1 verschwindenden Elementartheiler 

 der Function 8-^(^8^ sämmtlich einen geraden Exponenten, 

 und verschwindet \T\ nicht, so ist diese Determinante das 

 Quadrat einer rationalen Function ihrer eigenen Elemente. 



9) Es seien i, T zwei Formen, von denen wenigstens eine, etwa T, 

 eine nicht verschwindende Determinante hat, und welche die Gleichung 

 2) befriedigen. Dann folgt nach 5) 



{i^(jt')8^t'{8^ — (i8)^o, 



{T-^^T')S + T'(8' — q8) = o, 

 oder 



das heisst, die aus conjugirten Grundformen gebildeten beiden Schaaren 



sind äquivalent, sobald die Determinante von t nicht Null ist. Sollte 

 t dieser Bedingung nicht genügen, so kann man jedenfalls an Stelle von 



1) Frobenius, Ueber die schiefe Invariante etc., Borchardt's Journal, Bd. 86, S. 57. 



