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dieselben Elementartheiler, wenn die Determinante von T nicht ver- 

 schwindet. Setzt man in der zweiten Schaar q^ — o, so sind nach dem 

 Kronecker'schen Satze die Elementartheiler von der Form 



(a + 1 )2'= = ((> - lf\ {a - If +> = (^ + 1)''+' 



stets paarweise vorhanden. Das heisst: 



Verschwindet die Determinante von T nicht, so muss 

 die aus conjugirten Grundformen gebildete Determinante 



1) i^'^ + '^'l 



nur paarweise Elementartheiler von der Form (^+1)« ent- 

 halten. [Und umgekehrt muss, wenn diese Bedingung nicht 

 erfüllt ist, die Determinante von T stets verschwinden.] 



Aber diese Bedingung ist auch hinreichend. Sind nämlich die 

 Elementartheiler der Function 1) von der Form ((>+!)« paarweise vor- 

 handen, so lässt sich nach einer Bemerkung des Herrn Frobenius') 

 eine Form 



construiren, welche genau dieselben Elementartheiler besitzt, und deren 

 Determinante nicht Null ist. Denn es ist möglich, eine Schaar (tX — X' 

 mit conjugirten Grundformen zu bilden, welche vorgeschriebene Elementar- 

 theiler hat, vorausgesetzt, dass dieselben paarweise von gleichem Grade 

 sind und für reciproke Werthe verschwinden, mit Ausnahme derjenigen, 

 die für (> = 1 von einer ungeraden, und für (> ^ — 1 von einer geraden 

 Ordnung verschwinden. Dann aber giebt es nach dem Weierstrass'- 

 schen Satze zwei Substitutionen P und Q von nicht verschwindender 

 Determinante, vermöge welcher 



PSQ = X- 



PS'Q = —X\ 



wird. Es ist also auch 

 Setzt man nun 



PSQ=—Q'SP\ 



1) F. S. 22. 



