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Analoge Betrachtungen gelten auch für den Fall wo die Deter- 

 minante von {S-\-S^) nicht verschwindet. In dem Falle, wo beide 

 Determinanten gleich Null sind, ist eine Reduction auf das Problem der 

 vertauschbaren Formen auf diesem Wege nicht mehr ausführbar. Aber 

 auch hier lässt sich die Bestimmung der Formen T' -j- T, T' — T ge- 

 sondert vornehmen. 



Setzt man nach 2) 



so kann man die Substitution V stets so wählen, dass die symmetrische 

 Form in E^ übergeht, wo E, nur die w, Variabeinpaare a;,«/, • -x^i/q enthält. 



so ist die zu erfüllende Bedingung, dass T symmetrisch oder alternirend werden soll, ausgedrückt 

 durch 



4) 2asP,=^±2a,S'P^S-\ 



Setzt man aber in der aus 3) folgenden Gleichung 



für ü"— ' den aus 1) folgenden Werth : 



ein, so erhält man : 



S^pig-i u^^ U'S'P'S-'; 

 d. h. es ist 



5) S'P^S-' = :Sß,iP,; 



und nach 4) 



2asPs==±2aißi,Ps, 



oder wegen der Unabhängigkeit der Formen Ps 



6) as^±Iaißi,. 



Aus 5) folgt aber : 



Pi = 2ßsiS'-'PiS. 



P, = ^ß,i S' PI S- ' = 2ß,i ßij Pj , 

 und hieraus erhält man 



2ß,!ßij={sj). 



Die Anzahl der von einander unabhängigen symmetrischen und alter- 

 nirenden Formen, welche hiernach durch die Anzahl der einfachen Elementar- 

 theiler von der Form (g+1) der characteristischen Function der Form 



bestimmt ist, ist demnach insgesammt stets gleich der der linear unabhängigen 

 mit der gegebenen Substitution C/" vertauschbaren Formen. 



Ich muss mich hier damit begnügen, auf die mannigfache Bedeutung hinzuweisen, welche 

 diese Betrachtung für die Geometrie der quadratischen Formen hat. 



