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§ XL 

 Irreducibilität des Systenies der eigentlichen Transformationen. 



Durch die vorstehenden Untersuchungen können alle Substitutionen 

 U gefunden werden, für die wenigstens eine der beiden Determinanten 

 \ü-\-E\ oder \U — E\ von Null verschieden ist. 



Wenn dagegen die characteristische B'unction 



/l{if) = 'U—QE\ 



von U unter der Voraussetzung einer eigentlichen Substitution sowohl 

 für j> = -|- 1 als auch für (j = — 1 verschwindet, so muss ^(^) von einer 

 geraden Ordnung m für (> =: — 1 verschwinden. Sei ferner z/((>) ^= z/, ((>)^2(c)) 

 wo z/, ((>) das Product der Elementartheiler, die für (> ^ — 1 verschwinden, 

 und üi eine Form der Variabein x^yi, ■ • a?,,,«/^, welche dieselben Elemen- 

 tartheiler hat, wie ^i((>) und ebenso U^ eine aus den Variabein x,„^, , 

 .V,«+i • ■ ^nVn gebildete Form mit den Elementartheilern von J^ii^)- Dann 

 ist die Form 



der Form U ähnlich, also 



und 



U'SU=S. 

 Hieraus folgt 



((?')-' IP & (Ö') -'SG-' G UG-' = (Ö')-' SG-' ; 

 also, wenn 



(G')-'SG-' = So, 

 gesetzt wird 



(GyU'G'SoGÜG-' =So, 

 oder 



Ul Sq Uq = Sq. 



Hieraus folgt aber'), dass *S'o ebenso in zwei Formen Äi-j-Ä zerleg- 

 bar ist, wie die Form Uq in U^ -j- U^. 



1) Vgl. § II, S. 250. 



