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herleiten, indem man die willkürlichen Parameter als Func- 

 tionen einer Variabein h auffasst. 



Es beruht aber die vorstehende Betrachtung auf der Möglichkeit, 

 eine Form H^ von nicht verschwindender Determinante zu finden, welche 

 der Gleichung 1) genügt, und hierzu ist nothwendig und hinreichend'), 

 dass die Elementartheiler der characteristischen Function 



von der Form ((> — 1)«, {()-\-\)ß nur paarweise auftreten. Die Elementar- 

 theiler von |<S+(>/S"| sind aber zusammengenommen gleich denen von 



|6',-f (>*Sj| und |-S2 + (>^^1. 



Diese Bedingung ist zunächst erfüllt, wenn die Determinante 



\S±S'\, 



was bei geradem n stattfinden kann, überhaupt nicht verschwindet. Ist 

 dagegen n eine ungerade Zahl, und hat die Function 



\S+()S'\ 



nur die einfache Wurzel () = — 1, während J5' + /S'^| nicht Null ist, so 

 kann die zu einer geraden Zahl von Variabein m gehörige Function 



\Sr\-i^S\\ 



nicht für () = — 1 verschwinden, da sie in diesem Falle mindestens den 

 Theiler {()-{- If haben müsste, für den überdies alle ersten Unterdeter- 

 minanten noch Null werden. 



Man hat also den folgenden Satz: 



Die sämmtlichen Substitutionen, durch welche eine all- 

 gemeine bilineare Form S* von nicht verschwindender Deter- 

 minante eigentlich in sich transformirt wird, bilden ein 

 irreducibeles System. 



Durch eine andere Specialisirung ergeben sich auch die beiden 

 wichtigen von Herrn Frobenius bewiesenen Sätze über den irreducibelen 



1) Vgl. § IX. 



