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neunter Ordnung. Die beiden Mäntel durchschneiden sich in einer Doppelkurve 12. Ord- 

 nung, die indessen mit der Eigenschaft der Fläche als Brennfläche nichts weiter zu thun 

 hat. Den Geraden f.i = const der Ebene entsprechen geodätische Linien der Fläche, den 

 dazu senkrechte Geraden A = const dazu conjugiei'te Curven, welche daher einen ähn- 

 lichen Verlauf haben müssen, wie er in der Figur 3 angedeutet ist. Wenn man in 

 dem Gleichungssystem der Fläche die Paranieterwerte X und /.< vertauscht, so wird 

 dadurch die Fläche selbst natürlich nicht geändert; es ändert sich eben nur die Bedeutung 

 der Parameter; ^ =- const werden geodätische Linien, ;U == const conjugierte Curven. 

 Ein Parameterpar If-i repräsentiert einen Strahl, oder genauer gesagt 4 symmetrisch gelegene 

 Strahlen, von denen jeder in zwei Punkten, die auf verschiedenen Mänteln liegen, die 

 Brennfläche berührt. Hiedurch werden auch die beiden Mäntel der ßrennfläche punkt- 

 weise aufeinander bezogen, beziehungsweise abgebildet und diese Abbildung überträgt 

 sich ebenso auf die Streifen in der A^t-Ebene. Zwei Punkte dieser Ebene, für welche 

 die l und ;W-Coordinaten dieselben Werte in vertauschter Anordnung haben, die also 

 symmetrisch zur Geraden X = (x liegen, entsprechen demnach solchen Punkten der 

 Brennfläche, in denen ein und derselbe Strahl gleichzeitig berührt. 



Unter den ebenen Schnitten der Brennfläche parallel zur .?«/ Ebene ist jener 

 ausgezeichnet, welcher durch den Punkt A = fx = geht. 



Tv 



Für ihn ist x= , ^''+' {?>M + L)H' und 3X + ^t = 0, oder ^i = — 2,l. 



Dies gibt für die z und «/-Goordinate: 



y MW "0^,,+,' ' AMH' ' ^\,+.^ ^ 



Aus der ersten Gleichung folgt: P =: 4- ?/ ,_""'" 1/ — -— • 



° " ^^ 2VsAv^_^_^^ V A 



Entwickelt man die linke Seite der zweiten Gleichung und ordnet man nach 

 geraden und ungeraden Potenzen von A, so folgt: 



AMH's'^^ 4iH*iZ»-t-24ilf^i2'*^UH-12^U* = 32Jffi^^U^ 



Nun quadriert man auf beiden Seiten und führt den Wert für X^ ein: 



[AMH"-s'^^—-AM^H^±^3PH^Ay^±^\/jL-irAMH\f'^-X 



2/v+l äi+l 



3V3 "^ ^,.,1 V A 



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Abb. d. II. Cl. d. k. Ak. d. Wiss. XVII. Bd. III. Abth. 72 



