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Aus der ersten Gleichung folgt: 



r,,^ _ ^H^-A H\^ - (Z + M) m H\ 



Setzt mau diesen Wert in die zum Quadrat erhobene zweite Gleichung, so 

 ergibt sich : 



JH^ — AH\ ^ — {L + 2 M)H'H\ 

 AH'J 



(^jZf = ^^=^ — - ATT.z ■ -^^^^ {^H^ — 2 MHH'J. G8) 



An. ^ 



Das ist eine Gleichung 5. Grades für H',..; zu jeder Wurzel derselben finden 

 sich aus der Gleichung 12 a) 2 gleiche und entgegengesetzte Werte für Z, von denen 

 aber nur der eine der Gleichung 12 b) genügen kann. Es gibt also zu einem be- 

 stimmten Wertepare ^^ £[,,,, J Z 12 Wei'tepare H'^., Z' , welche den Gleichungen 

 genügen. Berücksichtigen wir den Umstand, dass ^^H^ und JZ einen Punkt der 

 Ebene A.,j.^, ebenso if'^ und Z' einen solchen der Ebene -B^^j,, festlegen und die 

 durch die Formeln 12 zusammengebundenen Punkte auf Strahlen des Systems liegen, 

 so folgt, dass durch einen Punkt der Ebene A.-^j.^ 5 Strahlen des Systems der ge- 

 brochenen Strahlen gehen, die natürlich zum Teil imaginär sein können. Da die 

 Ebene -4,,., , in Bezug auf das Strahlensystem keine ausgezeichnete Rolle spielt, so 

 folgt, dass das System der gebrochenen Strahlen 5. Ordnung ist. Für M= redu- 

 ciert sich die Ordnung auf die dritte, wie aus der Gleichung unmittelbar zu ersehen 

 ist; wir haben es dann mit dem schon beti'achteten Fall zu thun, in dem die Brenn- 

 fläche Rotationsfläche wird. In dem Falle ^ = muss man von den Gleichungen 46 

 ausgehen und findet dann auf ganz analogem Wege, dass hier die Ordnung 4 ist. 

 Die Klasse des Strahlensystems ist im allgemeinen Falle gleich 3. Denn, denken 

 wir uns eine beliebige Ebene (S, welche die Ebene A.^,.^ nach der Geraden ®: 

 aJH-\-ß/lZ-'ry=^Q und die dazu parallele Ebene S.^kA-i "^^^^ ^^^ Geraden @': 

 aH' ~\- ß Z' -\- y^ =0 schneidet, so werden den Punkten ersterer Geraden ® in A.-,j.^ die 

 Punkte einer Curve 3. Ordnung in -B.,j.,j entsprechen, wie man durch Einsetzen der 

 Ausdrücke von // H und ^Z nach den Gleichungen 12 erkennt. Diese Curve 

 3. Ordnung wird von der Geraden ©' in drei Punkten geschnitten, welche mit den 

 drei ihnen entsprechenden Punkten von ® verbunden die drei Strahlen des Systems 

 liefern, die in der beliebigen Ebene (5 liegen. Für ^ = erniedrigt sich die Klasse 

 auf zwei. Das für ^ = und J9 = Ordrtung und Klasse gleich eins werden, wurde 

 schon erwähnt. 



Nach diesen Vorbemerkungen gehen wir dazu über, den Schnitt des Systems 

 der gebrochenen Strahlen mit einer Ebene auszudrücken, die in geringer Entfernung x 

 von der genäherten Bildebene -4,,^, j parallel zu dieser angenommen wird. Dazu 

 dienen die Gleichungen 26: 



r' T' 



