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Es sollen nun die für das Folgende wichtigen Eigenschaften der drei Abbildungen 

 kurz betrachtet werden. 



Bezüglich der dritten ist zu bemerken, dass einem Punkte A ;t< vier symmetrisch 

 gegen die Axen verteilte Punkte der Ebene B ^ entsprechen. Damit dieselben reell 

 seien, muss der Punkt A /.i in den schon früher bei der Diskussion der Brennfläche 

 bemerkten zwei Streifen (s. Fig. 2) liegen, für welche sowohl X und /.i entgegengesetztes, 

 als MH^-\-Al und MW-\-A(.i gleiches Vorzeichen haben. Umgekehrt gehören 

 zu einem Punkte der Ebene J3_, zwei Punkte l (.i. Sind nämlich a nnd ß die 



TTi 2 yi 2 



Wurzeln der quadratischen Gleichung: — ^ — | — j,tJt2 ^= 1' dann genügen die 



Parameterpare /l = a f.i = ß ^ l^=ß /.i = a den Abbildungsgleichungen 19. Die ent- 

 sprechenden Punkte der A i-t - Ebene liegen symmetrisch zur Geraden f.i^=X auf die beiden 

 Streifen verteilt. Man kann daher auch einen Streifen unterdrücken und sich dafür den 

 andern doppelt mit Punkten Xf.i überdeckt denken. Mechanisch, würde dies so ausgeführt, 

 dass wir die eine Hälfte der A;t<- Ebene um die Linie X=^f.i in die andere Hälfte 

 umklappen, wodurch beide Streifen mit den entsprechenden Punkten zur Deckung 

 kommen. Siehe Figur 2. Den Begrenzungen dieses Streifens, die durch 1=0, 



/u positiv und i-i = 0, X negativ, aber absolut kleiner als , gebildet wird, ent- 



spricht die doppelt gezählte Z'-Axe; der Begrenzung A = — , /.i positiv die 



doppelte Ü'^-Axe. Einer beliebigen Curve des Streifens, unter welchem Winkel sie 

 auch dessen Begrenzungen treffen mag, entspricht eine symraetriscli zu beiden Axen 

 liegende Curve der Blendenebene, welche die Axen im allgemeinen senkrecht durch- 

 schneidet. So z. B. geht die Gerade: A-f-o /" + /5 = in die bicirkulare Curve 

 4. Ordnung: 



/ 31 H' V I 31 H' \ 



a[Z'^ + H-^ ^^^ß)+ß(l-a)(Z'^ + H',^ i'-^^ + ß) - 



über, welche für a = 1 in einen doppelt gezählten Kreis, für /5 = in zwei zur Z'-Axe 

 symmetriscli gelegene Kreise zerfällt. In letzterem Falle findet eine Ausnahme von 

 dem senkrechten Durchschnitt mit der .Z'-Axe statt; hier geht aber auch die Gerade 

 A-j-a /.i -{- ß = durch den Anfangspunkt, in welchem das Bild der Z'-Axe unter 

 einem rechten Winkel gebogen erscheint. Jeder Curve, die durch den Anfangspunkt 

 der A/i- Ebene einfach hindurchgeht, entspricht eine Curve mit Doppelpunkt auf der 

 Z'-Axe. Berührt eine Curve der A;tt-Ebene den Rand des Streifens von innen, 

 so hat die entsprechende Curve der Blendenebene Doppelpunkte. So gehört zu 

 der Hyperbel : 



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