88 







Ц'Ьль моей заметки — выяснить, что къ задач'Ь Лапласа, даже значи- 

 тельно обобщенной, можно съ усп']&хомъ проложить методъ математическпхъ 



• О 



ожиданш. 



Пусть въ одномъ изъ двухъ сосудовъ находится п шаровъ, а въ дру- 

 гомъ п, шаровъ; пусть дал'Ье число б'Ьлыхъ шаровъ въ обоихъ сосудахъ 



равно (п,-1-??,)2?, а черныхъ — (м н- »?,) д', гд Ь р -+- ? = 1 • Число б'Ьлыхъ 



шаровъ въ первомъ сосуд'Ь обозначимъ буквою х; оно пеизв'Ьстно п будетъ 

 изм'Ьняться, но предполагаются установленными вероятности всЬхъ возмож- 



ныхъ его значенш, до начала обм-Ьна. 



Обм'Ьнъ этотъ состоять въ посл^довательныхъ перекладыван1яхъ по 

 одному шару пзъ одного сосуда въ другой и обратно. Число произведенныхъ 

 перекладыванш обозначимъ буквою г; послЬднее число мы будемъ увеличи- 

 вать безпред'Ьльно вм-Ьст-Ь съ п и п,. Обозначимъ, наконецъ. символомъ 



^х, г 



в-Ьроятность, что посл'Ь г перекладыванхй вт, первомъ сосуде, содержащемъ 

 постоянно п шаровъ, будетъ ровно х б-Ьлыхъ- шаровъ п с л ^^довате льно бу- 

 детъ п — X черныхъ шаровъ, иначе сказать, во второмъ сосуде будетъ 



%) р — X бЬлыхъ и п^^ — пр-*-х черныхъ шаровъ. 



Таковы услов1я задачи, которую разсматривалъ Лапласъ, при 



р = ^ = --. и п = п^^. На основапш ихъ нетрудно составить уравнен1е 







^-*- 1 Пуд^-пр-^-х -^ \ п — х-^1 {п-^п{)р — х-\-1 



2 



г 



я")Г-»-1 п п^ а;+1, Г п п^ х—\чТ 



X (п-ни^)^^ — ж п~х п^ ^ — п-р -\- х 



п п-у п щ 



]'-, 



для посл-Ьдовательпаго вычпслен1я величинъ 



■^Ж,!' '^л;,2? '^я;,3?' • • • 



ПО даннымъ величинамъ з „. ПослЬдо 



служить 



основан1емъ, но не ц-блью изсл'Ьдован1Й Лапласа; задача пхъ, которой мы 

 зд-Ьсь займемся, состоптъ въ приближенномъ опредЬлеп1и г ^ для весьма 

 большпхъ значепш ?г, ??^, г. 



Охм'Ьтимъ одииъ случай, для котораго не трудно дать точное выра- 



жеше ^д.^^, при произвольныхъ п, п^ и г, и выполнить требуемый переходъ 

 къ пред'Ьльнон Формуле. Положпмъ, что наполнеше состдовъ шарами произ- 



ведено такимъ образомъ. Сначала всЬ п-^п, шаровъ, среди которыхъ 



