138 



Demnach sind die gesuchten Cosinus 



abkürzungshalber B gesetzt — 



yy 1 —z — fß 1 z — fa x — xy x xß x — y a x 



Vr ' Vb ' Vb ' 



B selbst lässt sich in der Gestalt: 



(* 2 + y 2 + » - P) (A + ßi + r\) - (*«i + yßx + * — fyx? 



oder wegen x a x -\- y ß 1 -j- z — fy 1 = in der Form 



B = (X* + y> + z-f') (a\ + /?* + rf) 



schreiben. Es handelt sich jetzt noch darum, a x , ß 1: y l oder vielmehr 

 ihre Verhältnisse durch die Coordinaten der "Wellenfläche darzustellen. 

 Wir eliminieren zu diesem Zwecke in ähnlicher Weise wie vorher die 

 a i > ßi > 7\ aus dem Gleichungssystem : 



«i «i + /?i yi + /i («i — f) = 



ß i » + Ä y -f 7i — = 

 a x dx -\- y 1 dz = 



und erhalten: 



X, 



Vi 



*i- 



-f 



X 



y 



z — 



-f 



dx 







dz 





= o, 



oder mit Berücksichtigung der Gleichung xdx (1 -j- ,«0 -j- (z — f) dz = 

 und nach Ausführung der Determinante: 



x x (yx 1 + u) + v/, (- o? 2 - 1 + ,u - a — ft+^ — fto ■ z — f) = 



Da in dieser nach a^, y ly z x linearen Gleichung die Coefficienten dieser 

 drei Grössen den a 1? ß 1 , y 1 proportional sein müssen, so können wir die- 

 selben in die Ausdrücke: 



yYi — *—f ßi z—i a x — xy x %ßi — v »i 

 Vr ' Vr ' Vb 



an Stelle der <x 17 /?j, ^ substituieren. Die gesuchten Cosinus bekommen 

 dann die Gestalt: 



