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des Argumentes der Fall ist, convergieren die von uns gegebenen Reihen 

 von einem bestimmten Gliede an für jedes l. 



Was weiter die Berechnung der Reihen anbelangt, so handelt es 

 sich, da für die Bessel'schen Functionen — wenn auch nicht voll ge- 

 nügende — Tafeln vorhanden sind, jetzt um die explicite Darstellung 

 der mehrfachen Differentialquotienten. Man sieht nun zunächst ohne 

 weiteres, dass die in Z", Z"' . . . und Z 2 ", Z 2 '" . . . neu auftretenden 

 Coefficienten sich auf die in X { , X, oder Z,', Z 2 ' vorkommenden redu- 

 cieren lassen. Nach bekannten Regeln ergibt sich nämlich, wenn man 



den Ausdruck 



n (11 — 1) 0?, — 2) . . n — m- — 1 

 1 • 2 • 3 . . m~ 

 mit n m bezeichnet, 



D n (a sin «) = D n sin /t -f- », D n_1 sin a 



D" (a 2 sin ,«) = D n sin u -\- 2 • n x D' 1 " 1 sin p -f- 2 ■ 1 n 2 D H ~ 2 sin u etc. 



und die analoge Formelserie, in der der Cosinus an die Stelle des Sinus 

 gesetzt ist. 1 ) 



Wir haben uns desshalb nur mit der Darstellung von D H cos ,« und 

 D" sin f.i zu beschäftigen, und werden natürlicher Weise die Hilfsmittel 

 hierzu zum Teil der Theorie der höheren Differentialquotienten entnehmen. 

 Speciell benutzen wir folgenden Satz: Es sei eine beliebige Function von o 

 h = h (a) gegeben und von dieser eine Function F (li) = f ' (a) ; alsdann 

 besteht zwischen dem n ten Differentialquotienten von f nach a (f n (o)) 

 und der Reihe der Differentialquotienten von F nach h eine lineare 

 Gleichung von der Form: 



fO» (a) = ^ • F' (») + ^ • F" (Ä) + . . + ^ F* (Ä) , 



worin die W Functionen bedeuten, die nur von h abhängen und in der 



Gestalt 



3 1 



w = 



d n ( V 



1) Wollen wir eine successive Reduktion der D (o k cos ß) resp. D (a k sin /t)i nämlich auf 

 D (a k — ! cos ,u) und D (o /c -i sin,«), so ist auch dies leicht bewirkt, indem: 

 B n (a k sin fi) = D» (o''-l sin fi) + «,j D»-i (a ft -l sin ,k) 

 I>» (a fc cos fi) = D" (o'«- 1 cos n) -\- Uli D»— 1 (o ft -l cos p). 



