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Da nun [i (o) für a = 1 verschwindet, so erhält ,« (o -\- x) — /u (o) für den 

 gleichen Wert (7=1 die Form: 



|(i-T+^)+ |(i-i"+^ 2 ) + |(i-T+V) 



oder nach Potenzen von x geordnet: 

 I "-'p ~Y k x -\- k % 



+ *& + %)+r>'f\ 



Führen wir jetzt an Stelle von k , k u k 2 drei neue Grössen ein, die 

 durch die Gleichungen 



^o H~ K ~\- & 2 _ a ™l i ]h _ j "-'2 __ c 



definiert sind, so geht der Ausdruck für TF m in 



3* 



(- 1)" 



|r(a + ftT + CT«)] 



über. Differentiieren wir diese Form nach der Regel für ein Produkt, 

 in dem wir x m als den einen, (a -f- b x -f- c r 2 )" 1 als den anderen Faktor 

 betrachten, so verschwinden in der entstandenen Summe alle anderen 

 Glieder ausser demjenigen, bei welchem die Differentiation an r m gerade 

 m mal ausgeführt wird; diejenigen nämlich, bei welchen sie weniger als 

 m mal ausgeführt wird, behalten eine positive Potenz von x übrig und 

 verschwinden desshalb mit x, da der andere Faktor endlich bleibt; für 

 diejenigen aber, bei welchen sie mehr als m mal ausgeführt wird, ist 

 natürlich der erste Faktor auch ohne einen speciellen Wert für r gleich 

 Null. W m lässt sich infolge dessen in der Form: 



( 1 v» tti \ d "~ m (fl + br + c x 2 ) m 



CT T = 



schreiben. 



Wir wollen nun zunächst einmal den Specialfall c = 0, also k 2 = 

 behandeln, in dem also nur ein Aberrationsglied, das der 4. Potenz der 

 Oeffnung proportional ist, vorkommt. Entwickeln wir (a -f- b x) m nach 

 der binomischen Regel, so ist das Glied, welches hier allein in betracht 

 kommt, da alle übrigen verschwinden, dasjenige, welches x n ~ m enthält, 

 also m n _ m dr m ~ " ■ (b x) n ~ '". Wir erhalten also für den n — m ten Diffe- 



