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n — m 



2 



s« 



II (n — m) 



n (m) • H im) 



k=n—2m 



(k) JI(w — m — k) /I(2 m — n + ä) JI(m — k) 





worin die Summe, wie hier noch einmal erwähnt werden mag, sich über 

 alle positiven ganzzahligen Werte von k erstreckt, die der Ungleichung: 



— , = « 



m 



n — 2 m< k < 



genügen und worin der Klammerinhalt mit demjenigen Werte von ,tt ab- 

 zubrechen hat, welcher der grössten in ~ enthaltenen ganzen 



Zahl gleich ist. 



Wir können jetzt die Ausdrücke für D n cos u und B n sin « fertig 

 hinschreiben; dieselben lauten: 



'»("» - 1) w 



D n cos fi = 2(— 1) x - 2 



m ( »2+1 ) 



'»> 3r 



n—m l \n 



\a -f- b t -j- c t 2 \ 



und 



D" sin tt = 2 ( — l rnr - J2™ . 



JT (m) 



j»(m+l) 



3»i-»i 



— [a -4- b t, -\- c i 2 \ 



und erstreckt sich die Summe in D" cos ja auf alle geraden, die in D n sin « 

 auf alle ungeraden der Ungleichheit m <; n < 3 m genügenden Zahlen. 

 Wir wollen bezüglich der Anwendung dieser Formeln zwei Beispiele 

 geben, nämlich die Bildung von D 1 cos fi und Z) 4 sin ,«. Was zunächst 

 den letzteren Ausdruck anbetrifft, so kommt wegen m<4^3«i und weil 

 m ungerade sein muss, für dasselbe nur der Wert 3 in Betracht. Setzen 

 wir nun die Werte für n und m in die Ungleichung für k, nämlich 



% . 



n — 2)»<i<- 



ein, so ergibt sich — 2 < k < ^ und es kann dem- 



nach k, da es eine positive Zahl sein ■ muss, nur den Wert annehmen. 

 Wir erhalten also: 



