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 3 D H «*• 



3 a 

 3 D n <F 



3 D» e^ 



= — 2 1 • i n 2 JD n - 2 e* 

 = — 3 • 2 1 • in 3 D n ~ 3 «f 



3 c 



Durch Trennung des Reellen und Imaginären ftiessen hieraus die 

 Formeln: 



3 D w cos f.i rm _ i . 3 D u sin f.i - nn _ 1 



— - — - = n D H l sm u , — - - = — n D n 1 cos u 



3 a 3 a 



3 D H cos (.t , . ~ 2 . 3_D n sin/u _ „ 



— — -=n(n — 1) D sm«-, r^ — - = — n(n— 1)1) ' cos ,« 



3 3 6 



82 ^ cos ^ = „(»_!)(„_ 2)D"- 3 sin j a, 3 -^ sin ^ = _ w ( w _ l ) ( n _ 2) J— s cos ,« 



Dieselben sind für die Bildung von D" %£ t a ausserordentlich bequem. 

 Nehmen wir z. B. an, es handelt sich um die Bildung von D 6 cos ,«; 

 D 5 sin ,«, _D 4 sin ( «, D 3 sin « haben die Werte 



— a 5 + 60 a 6 2 + 60 a 2 c, 12 a 2 6, a 3 — 6 c. 



Durch Integration dieser nach a resp. 6 resp. c und Multiplication mit 6 

 resp. 6 ■ 5 resp. 6-5-4 ergeben sich die Grössen 



— a 6 + 180 a 2 b 2 -f 120 a 2 c, 180 a 2 b 2 , 120 a 3 c — 360 c 2 . 



Da nun die D n ™* ,« von a, b, c unabhängige Grössen nicht enthalten 

 können, — sie sind sogar homogen, falls man a, b, c der Reihe nach die 

 erste resp. zweite resp. dritte Dimension zulegt — so ergibt sich für D 6 cos jlc 



— a 6 + 180 a 2 b 2 + 120 a 3 c — 360 e 2 . 



Wenn wir früher gesagt hatten, dass für die Möglichkeit unserer 

 Darstellung die Anzahl der Aberrationsglieder völlig gleichgiltig sei, so 

 dürfte dies aus dem vorangegangenem einleuchtend sein. Praktisch würde 

 am meisten die independente Darstellung von D n cos fi und D n sin,« durch 

 die Grössen a, b, c Weitläufigkeiten besitzen, doch besteht keinerlei prin- 

 cipielle Schwierigkeit, dasselbe Verfahren bei Anwesenheit von beliebig 

 vielen der Grössen a, b, c etc. zu benutzen. 



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