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Um diese Formel zu beweisen, werden wir zeigen, dass, wenn sie für 

 k gilt, sie auch vermöge der Gleichung 



S» (V+i /- (a) ) = 8» (p k f(o)) — n S n+1 (o k f(o)) 



für k -\- 1 besteht. Bilden wir nämlich die rechte Seite dieser Gleichung 

 unter Anwendung der in Frage stehenden Relation, und greifen wir hier- 

 bei diejenigen Glieder heraus, in denen S n+m f (ff) als Faktor vorkommt, 

 so erhalten wir: 



( - n) m k-(tc-l)..(k — m—l) S n +"> f (o) 



_ n (_ n _j_ i) m _ 1 k ■ (k — 1) . . (k — m - 2) S n + m f (o). 

 Die Summe dieser beiden Glieder ergibt sich zu: 



jk — m — 1 



(- n) m (k + 1) • k . . . (k + 1 — m - 1) S n + m f(a) j^py 



(-n) m (Ä+l)/' 

 oder, da, wie leicht abzuleiten, 



( r \ — ( IV J T(r ~ 1 + ^ ) also (— * + l)m -i _ _ m 

 (— ty - (- 1) n{r _ l) j T ^y also ( _ ^ - - - - 



ist, zu 



(- n) m (k + 1) k . . (k + 1 — ^^T) S n+m f (ff). 



Dies aber ist das allgemeine Glied von S n (o k+1 f (ff)). Die fragliche 

 Relation besteht also allgemein, falls sie für irgend ein k gilt; da sie für 

 k = 1 oder k = 2 oben bewiesen wurde, so ist sie demnach allgemein 

 richtig. 



Setzen wir für /' (o) cos jli oder sin fi, so haben wir uns demnach 

 nur noch um die n fachen Integrale dieser beiden Grössen zwischen den 

 Grenzen und ff zu kümmern. 



Wir wollen nun zunächst Reduktionen dieser Integrale auf einfachere 

 Formen suchen und dies in zweierlei Weise thun, nämlich diese n fachen 

 Integrale entweder auf Differentialquotienten des einfachen 

 Integrals der gleichen Funktion nach a, b, c zurückführen, oder die- 

 selben durch ein einfaches Integral einer anderen Funktion aus- 

 drücken. Ersteres wird dann hauptsächlich von Nutzen sein, wenn das 



