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Wie man sieht, haben wir mit diesen Gleichungen die Möglichkeit 

 gewonnen, die mehrfachen Integrale für den Fall der beiden ersten Aber- 

 rationsglieder linear durch das ein- und zweifache Integral auszudrücken. 

 Wächst die Ordnung des höchsten Aberrationsgliedes um k, so wächst 

 damit im allgemeinen die Anzahl der zu dieser Darstellung nötigen Inte- 

 grale um 2 k. Bequem werden diese Formeln desshalb nur bei dem ersten 

 oder den beiden ersten Aberrationsgliedern sein. 



Nachdem so die allgemeinen Formeln für die vorliegende Art der 

 Darstellung, die nach Produkten aus Potenzen mit positiven Exponenten 

 und Bessel'schen Funktionen fortschreitet — und naturgemäss besonders 

 zur Berechnung der Intensität für kleine l verwandt werden wird, — 

 gewonnen sind, wollen wir uns wiederum dem Specialfalle c = zu- 

 wenden, in dem also nur das der vierten Potenz der Oeffnung proportionale 

 Aberrationsglied vorhanden ist. — Nach der eben gegebenen Formel ist 

 es möglich, die sämmtlichen in den X und Z vorkommenden Coefficienten 

 linear durch die Integrale 



i i 



sin (a o — b a 2 ) d o und cos (a o — b o~) d a 







auszudrücken; wir werden jedoch, um dies möglichst einfach zu thun, 

 von der Benutzung dieses Weges absehen und uns der Differential- 

 gleichungen 



3 S H cos f.i OM+1 . , d S n sin /li a ,, 



— = — n !S + sin ti und — — = -4- n S + cos u, 



da da 1 



oder vielmehr der mit diesen aequivalenten 



da ' 



bedienen. Man sieht nun zunächst, dass man auf Grund derselben 

 S n+1 e ifl durch einen n fachen Differentialquotienten von S 1 (e' 1 ") nach a 

 ausdrücken kann. Differentiieren wir zu diesem Zwecke von den Relationen 



— in S n+1 e'f* 



3 a 

 3S»- 1 «#• 



= i(n — 1) S n e i!l 



3« v ' 



2Z* 



