Es ist nun, wenn da> das Oberflächenelement der Kugel bezeichnet, bei 

 der Integration über die ganze Kugelfläche 



I (P", (cos v) cos m iy d a> = I (P", (cos v) sin m A) 2 d cu = 



4 TT 



(2n+l)<C 



In Bezug auf das erste Integral gilt diese Gleichung allgemein ; in Bezug auf 

 das zweite natürlich nur, wenn m von verschieden ist. Der Mittelwert 

 von P" t cos ml und P n m sin ml wird also, da die Kugelfläche gleich 4 n ist, 

 ((2w-f- 1) C) - *- Daraus folgt unmittelbar, dass B" u die verlangte Beschaffenheit 

 erhält, wenn man 



(4) Bl (cos v) = C ■ P n m (cos v) = 1/(2 n+ l)o» • P£ (cos t>) 



setzt. Die hiernach berechneten Werte der Faktoren r n m finden sich in 

 Tabelle III zusammengestellt, während Tabelle IV die "Werte der Funktionen 

 P", selbst von der 1. bis zur 7. Ordnung enthält. 



Es darf nicht übersehen werden, dass eine vollkommene Gleichwertigkeit 

 der Funktionen B n m nur in Bezug auf ihre mittleren Beträge besteht. Ihre 

 Maximalwerte sind verschieden; die Differenzen sind aber viel geringer als 

 bei den P" t . Unter den Funktionen der ersten 7 Ordnungen (von der Kon- 

 stanten Rq = 1 abgesehen) haben PJ und R{ das kleinste Maximum im 

 Betrage von 1,732, während das grösste, dasjenige von PJ, 3,873 beträgt. 

 Der Umstand, dass hier im Gegensatz zu den Funktionen P£ die Maxima 

 mit steigendem n nicht abnehmen, sondern zunehmen, kann obendrein als 

 günstig bezeichnet werden, weil dadurch bei gleicher Dezimalstellenzahl der 

 Coeffizienten gerade die ersten, wichtigsten Glieder der Entwickelung etwas 

 schärfer als die übrigen erhalten werden. 



Es ist vielleicht nicht überflüssig, die durch die Einführung der P", an 

 Stelle der P"„ herbeigeführten Aenderungen durch ein Beispiel zur Anschauung 

 zu bringen. Ich wähle zu diesem Zwecke die Entwickelung des erdmagnetischen 

 Potentials für den Zeitpunkt 1885,0 nach der Berechnung von Neumayer- 

 Petersen, die man in den „Vorbemerkungen" zur 4. Abteilung von Berghaus' 

 Physikalischem Atlas (S. 19) mitgeteilt findet. Gemäss den Bemerkungen auf 

 S. 5 meiner zu Anfang erwähnten Abhandlung gebe ich allen Zahlen das 

 entgegengesetzte Vorzeichen; ausserdem führe ich als Einheit die Grösse 

 0,1 5 cm~* gi s' 1 ein. Mit diesen Abänderungen entnehme ich der angegebenen 

 Publikation die folgenden Coeffizienten der nach den Funktionen P n m ent- 

 wickelten Reihe für (V:R): 



