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beträchtlich ändert, ziemlich rohe Auskunftsmittel hat man thatsächlich wohl 

 kaum jemals benützt; man hat vielmehr, so viel mir bekannt ist, stets alle 

 Coeffizienten bis zu derselben dezimalen Einheit berechnet, was nach dem 

 zuvor Gesagten nicht zu rechtfertigen ist. Es mag drittens daran erinnert 

 werden, dass die Bildung und Auflösung von Gleichungssystemen zur Berech- 

 nung der Reihencoeffizienten sehr erleichtert wird, wenn die Faktoren dieser 

 Unbekannten, hier also die Funktionswerte der P,", unter einander möglichst 

 wenig verschieden sind. 



Die gleichfalls übliche, besonders in England benützte Entwickelung 

 nach den Functionen 



P„ 



ya p , i n - dfim sin v - {n _ m)l y % r m - y 2(n _^ *». *** 



(3) mit p = cos v 



, _ [1.3.5. ...(2 n—\)f „ _ [1.3.5.... (2n— l)] a ,.. A 



und a" = L = — =— ^-i — , a* = 2 ±- / / J für m > 



n\ nl [n — m)\ [n-\-m)\ 



führt, nur im umgekehrten Sinne und in noch gesteigertem Masse, zu den- 

 selben Uebelständen. Die Funktionen P„ erreichen sämtlich 1 als Maximal- 

 wert, dagegen nehmen die T™ mit wachsendem n und m im Gegensatz zu 



den PZ sehr schnell zu. Es ist z. B. T\ = ZF\, T\=?>P\, T\ — ^-P\, 



T\= 10395 PI und die höchsten Werte von T\, T\, T\, T\ sind 1,5, 3, 37,1 

 und 10395. Die Coeffizienten ' der höheren Reihenglieder werden also hier 

 viel kleiner, als sie ihrer Bedeutung nach sein sollten. 



Durch diese Erwägungen veranlasst habe ich in allen Entwickelungen 

 an Stelle der P n m gewisse Vielfache derselben, R n m — r n m - P' n1 eingeführt, die 

 so gewählt sind, dass bei allen der quadratische Mittelwert von R'^ cos ml 

 und R^smml auf der ganzen Kugelfläche dieselbe Grösse, nämlich 1, erreicht. 

 (Es könnte vielleicht zweckmässiger erscheinen, zu bestimmen, dass der Mittel- 

 wert von jß* durchgängig gleich 1 sein solle, wobei dann für m>0 jede 

 der Funktionen R n m cos ml und R n m sin ml im quadratischen Durchschnitt 

 gleich l V% würde. Da indessen hier bei der Einführung der R^ ausschliesslich 

 praktische Rücksichten ausschlaggebend sein sollten, so schien es, weil in den 

 folgenden numerischen Darstellungen die Glieder mit den Faktoren R^ cos ml 

 und jR" sin ml stets selbständig auftreten, besser, in der zuvor erwähnten 

 Weise zu verfahren, die übrigens auch für die Theorie vorteilhaft ist.) 



