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Ich betrachte zunächst die Formeln (III) und (IV). Die untere Grenze der 

 Integrale ist, da naturgemäss nur solche h m in Betracht kommen können, die 

 gegen Ji Q klein sind, sehr klein, weil nur Mittel werthe aus grossen Anzahlen 

 berücksichtigt werden sollen. Es entsteht nunmehr die Frage, ob man diese 

 untere Grenze nicht gleich Null setzen darf, ohne wesentliche Ungenauigkeiten 

 einzuführen, denn es ist leicht einzusehen, dass hierdurch alle Betrachtungen 

 viel einfacher sich gestalten werden. 



Setzt man Dr" y(Ä m r 2 ) = %, wo v eine der Zahlen 4 oder 5 ist und 

 bezeichnet man die obere Grenze mit A, so ist 



j / dr=Jxdr—Jx dr = ( 1 ) — ( 2 )- 



Wenn man nun das Intervall bis A in die endlichen Intervalle 0, a n 

 a 2 . . a n zerlegt und den kleinsten Werth von % innerhalb eines solchen Inter- 

 valles mit % m bezeichnet, so ist 



(l)>">i:X m (a m — a m _ 1 ). 



Ist weiter der grösste Werth von x i m Intervalle bis r , % , wobei das 

 durch eine analytische Formel für r > r gegebene D, durch dieselbe Formel 

 auch im Intervall < r < r dargestellt wird, so ist 



(2) <*„*■„ 



und demnach 



(1) >. 2xm(a m — a m -i) ,o\ 



(2) >_ X r ' ' [) 



Ist der Bruch genügend gross, so wird man in den obigen Integralen 

 r = setzen dürfen. Das wird der Fall sein, wenn sowohl (p (x) als auch 

 D(x) nicht über ein gewisses Maass für sehr kleine x mit der Annäherung 

 an x = wachsen. D (x) und cp (x) können dabei für x = sehr wohl 

 unendlich werden, aber das Integral selbst darf es nicht. Man kann die 

 Sache auch so aussprechen. Wenn nicht die in der allernächsten Umgebung der 

 Sonne vorkommenden Sterne vorzugsweise den Anblick des Fixsternhimmels 

 bestimmen, dann wird es erlaubt sein, näherungsweise r = anzunehmen, 

 soweit es sich nur um gegen h kleine Ji m handelt. Daraus dürfte die 

 Berechtigung zur Annahme r = ohne Weiteres folgen. Man wird also, 

 x = h m r 2 gesetzt, haben : 



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