Die Theorie der Krystallstructiir hat u. A. folgende rein geometrische Aufgabe 

 aufgestellt: 



Den unbegrenzt gedachten Raum in congruent resp. symmetrisch gleiche 

 continuirliche Raumfiguren gesetzmässig zu theilen. 



Unter gesetzmässigen Theilungen werden hier solche yerstanden, für welche 

 sämmtlich dieselben Deckoperationen giltig sind. Wenn wir also auf der Oberfläche einer 

 einzigen Raumeinheit auf irgend welche Weise die Deckoperationen mit den anliegenden 

 angeben würden, so werden dadurch die Gesetze der Deckoperationen für die Einheiten des 

 ganzen Systems eindeutig bestimmt. 



Da aber die Lösung dieser Aufgabe in ihrer Allgemeinheit mit einer ansehnlichen 

 Anstrengung der geometrischen Einbildungskraft verbunden ist, so erlaube ich mir, wegen der 

 Erleichterung der Auffassung des Untersuchungsganges, zuerst die einfachere, aber ganz 

 analoge Aufgabe der regulären Plantheilung in ihrer Allgemeinheit zu behandeln. Somit 

 zerfällt diese Abhandlung in zwei Theile. 



I. Theil. Reguläre Plantheilung. 



1. Es steht uns zuerst die Aufgabe bevor, sämmtliche Typen der regulären Theilung 

 der unbegrenzten Ebene aufzusuchen. 



In dieser Hinsicht sind nur zwei Arten solcher Theilung denkbar: entweder a) sämmt- 

 liche ebene Figuren sind parallel orientirt oder b) dies ist nicht der Fall. 



Systeme, welche der ersten Voraussetzung entsprechen, wollen wir die Systeme 

 I. Ordnung bezeichnen, und zuerst nur solche der Untersuchung unterziehen. 



2. Denken wir beliebige hierzu gehörende Figuren herausgenommen. Sie sind unter- 

 einander durch einfache Translation verbunden, welche zugleich die Decktranslation für 

 sämmtliche andere Figuren ist. Für diese Translation erhalten wir eine bestimmte Richtung 

 und eine bestimmte Strecke. Die Deckung kann in dieser Richtung und um diese Strecke 

 beliebige Male wiederholt werden, und jedes Mal kommt das ganze System mit sich selbst 

 zur Deckung. Jede einzelne Einheit bestimmt somit eine congruente Reihe der Figuren. 

 Nehmen wir beliebig einen Punkt in einer Einheit und die analogen Punkte in sämmtlichen 

 anderen Figuren, so bildet die Gesammtheit dieser Punkte ein ebenes Netz (analytisch 

 ausgedrückt quadratische Form II. Grades). 



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