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3. Nehmen wir aber nur zwei anliegende (also eine Grenzlinie gemeinsam besitzende) 

 Einheiten in Betracht, so erhalten wir eine Reihe besonderer Art, in welcher jede zwei 

 nächststehende Einheiten anliegende sind. Wir wollen solche Reihen als Colonnen 

 I. Ordnung bezeichnen. 



Hiermit kann das ganze System I. Ordnung als das System der anliegenden parallelen 

 Colonnen I. Ordnung aufgefasst werden. 



4. Jede Einheit kann als eine gemeinsame Figur von wenigstens zwei verschiedenen 

 Colonnen I. Ordnung aber verschiedener Richtung aufgefasst werden. 



Nun ist es klar, dass irgend welche zwei durch die gegebene Einheit hindurchgehende 

 Colonnen eindeutig das ganze System bestimmen. 



Der Deutlichkeit wegen nehmen wir zwei solche Colonnen in Betracht. In der 

 1. Colonne bezeichnen wir die als Ausgangspunkt der Betrachtung dienende Einheit durch 

 die Zahl 0, die anliegende in bestimmter Richtung durch 1, die weitere durch 2 u. s. f., und 

 in entgegengesetzter Richtung die anliegende durch 1 , die nächstfolgende durch 2 u. s. f. 

 Die betreffenden Zahlen für die Einheiten der 2. Colonne wollen wir an zweiter Stelle placiren, 

 und wieder in einer bestimmten Richtung durch 1, 2 u. s. f. und in entgegengesetzter Richtung 

 durch 1, 2 u. s. f. bezeichnen. 



Es ist dann einleuchtend, dass nach dem Princip der Coordinatenaxen wir jetzt jede 

 beliebige Einheit des Systems genau und eindeutig durch zwei nebeneinander gestellte 

 Zahlen bezeichnen können. Somit bedeuten zwei solche Zahlen z. B. mn eine ganz bestimmte 

 Einheit des Systems. 



5. Denken wir durch einen Punkt der für zwei anliegende Einheiten gemeinsamen 

 Grenzlinie in der Richtung der betreffenden Colonne eine Gerade gezogen, so schneidet diese 

 Gerade sämmtliche analoge Grenzlinien dieser Colonne in analogen Punkten; diese Punkte 

 bilden somit eine congruente Punktreihe, und der gemeinsame Abstand der Punkte dieser 

 Reihe ist nichts Anderes als die der Colonne zugeordnete Deckstrecke X. 



Also die Planeinheiten I. Ordnung sind von einander durch analoge, gleiche 

 und parallele Grenzlinien getrennt, deren Abstand gleich l ist (wo X die der 

 Colonne zugeordnete Deckstrecke bezeichnet). 



Die Anzahl der Grenzlinien einer Einheit kann also nur gerade sein. 



Solche ebene Figuren wollen wir als Parallelogone bezeichnen.^) 



1) Die Definition des Parallelogons wurde in der Arbeit „Elemente der Gestaltenlehre" (russisch) 

 § 56 gegeben. Da hier ganz besonders diese und zwei andere Grundwerke berücksichtigt werden, so 

 wollen wir dieselben im Weiteren in verkürzter Form citiren. Dieses Werk wurde im Jahre 1881 fertig 

 und im Manuscripte Herrn Tschebyschew vorgelegt (vgl. Einleitung zu demselben, Anmerkung S. V). 

 Dieser berühmte Mathematiker hat aber die Verraittelung der Erleichterung der Publication dieses um- 

 fassenden Werkes (in gedruckter Form 277 Seiten und 18 grosse Tafeln) abgelehnt und sogar die Meinung 

 geäussert, ohne dasselbe in die Hände zu nehmen, sondern ausschliesslich von principiellem Stand]3unkte, 

 dass solche Werke gegenwärtig die Mathematiker nicht interessiren können. Die daraus entstandene 

 Verlegenheit hat das Erscheinen des Werkes im Drucke sehr verzögert und wurde erst 1883 durch den 

 bedeutenden Krystallographen Gadolin beseitigt, nachdem derselbe in einer Reihe von Vorträgen des 

 Verfassers mit der Theorie der Krystallstructur desselben bekannt geworden war. Da aber diese Theorie 

 durch einen Theil der Sätze dieses Werkes ihre Stütze fand und dabei durch zahlreiche specielle Beob- 

 achtungen experimentell nachgewiesen wurde, so hat Derselbe der k. mineralogischen Gesellschaft zu 



