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6. Jetzt stellen wir uns die Frage, wie viele Paare Grenzlinien ein Parallelogon besitzen 

 kann, oder, was dasselbe ist, für wie viel Colonnen es die gemeinsame Figur bildet. 



Der gegebenen Einheit sind jedenfalls die Figuren 10, 10, Ol, Ol anliegend und durch 

 besondere Grenzlinien davon getrennt. In der anliegenden Colonne sind der Einheit Ol die 

 Einheiten 11 und 11 anliegend; diese beiden Einheiten sind von Ol durch zwei analoge 

 gleiche und parallele Grenzlinien getrennt, und der Abstand zwischen den analogen Punkten 

 dieser Grenzlinien ist in der Richtung der Colonne wieder l. 



Es ist also ganz unmöglich, dass ausser Ol noch zugleich die beiden Einheiten 11 

 und 11 von der Einheit durch Grenzlinien getrennt wären. Es kann also höchstens 

 ausser Ol nur eine von beiden, entweder 11 oder 11 von durch Grenzlinien begrenzt 

 werden. 



Es giebt also lediglich durch zwei und durch drei Paar Grenzlinien umschriebene 

 Parallelogone. Wir wollen dieselben resp. Diparallelogone und Triparallelogone 

 bezeichnen. 



Dass die Grenzlinien auch Gerade sein können , wurde schon längst früher be- 

 wiesen.^) Nun ist es klar, dass die Parallelogone, welche durch Grenzlinien anderer Art 

 und nicht durch Gerade begrenzt sind, als Varietäten der geradlinigen Parallelogone auf- 

 gefasst werden können, indem die parallelen Grenzgeraden durch irgend welche andere, 

 mehr oder weniger beliebige Linien ersetzt werden. Diese Varietäten sind in unbegrenzter 



St. Petersburg vorgeschlagen, für die Publication dieses Werkes Sorge zu tragen (vgl. Verhandlungen 

 der k. Mineralogischen Gesellschaft Bd. XX S. 334). Im Folgenden vs'ird das Werk einfach E. G. L. citirt. 



Das zweite in mancher Hinsicht auch der jetzigen Arbeit zu Grunde liegende Werk sind die 

 „Analytisch-krystallographischen Studien", welche als vier besonders zur Publication gelangten Studien 

 im Jahre 1885 — 1887 erschienen. Im Folgenden werden sie kurz A. K. S. citirt. 



Das dritte hier zu Grunde liegende Werk, in welchem schon das meiste davon enthalten ist, was 

 hier dargelegt worden ist, ist die Symmetrielehre, welche ebenfalls in vier verschiedenen Theilen während 

 d. Z. 1888 — 1891 zur Publication gelangte. Der erste ist „Grundformeln der analytischen Geometrie", wo 

 das neue überzählige Coordinatensystem ausführlich entwickelt wurde. In weiteren Arbeiten wurde gezeigt, 

 dass die Anwendung desselben fast in allen Fällen die Lösung der Aufgaben der elementaren analytischen 

 Geometrie erleichtert und vereinfacht, indem bei dem neuen Coordinatensystem der Unterschied der Lösung 

 in orthogonalen und schiefwinkeligen Coordinaten ganz verschwindet, und alle Grundaufgaben durch die 

 Formeln aufgelöst werden, welche denjenigen für orthogonales Coordinatensystem gehörenden ganz analog 

 imd von demselben Grade der Einfachheit sind. Der zweite Theil ist unter dem Titel ,,Die Symmetrie 

 der endlichen Figuren", der dritte „Die Symmetrie der unendlichen regelmässigen Systeme der Figuren" 

 und der vierte ,,Die Symmetrie auf der Ebene" erschienen. In Weiterem werden diese Theile einfach 

 S. L. I, resp. II, III oder IV citirt. 



Die einfachen geradlinigen Parallelogone wurden in E. G. L. § 57 ausgeführt. Dabei wurde gezeigt, 

 dass ausser zwei convexen Formen noch eine concave Form des einfachen Triparallelogons vorhanden ist. 



Wenn die Ebene nicht durch Formen einer tmd derselben Art, sondern von verschiedenen 

 in der Anzahl m vorhandenen, ebenen Figuren regelmässig ausgefüllt ist, so werden solche Figuren 

 Parallelogone »«t^'' Ordnung genannt. Die erschöpfende Darstellung convexer Parallelogone II. Ordnung 

 wurde daselbst in § 60 ausgeführt und in der Tafel X bildlich reproducirt. Diese Darstellung hat die 

 Bedeutung, dass die Schnittfiguren der Paralleloedersysteme durch besondere § 81 und 82 näher bestimmte 

 Ebenen convexe Parallelogone IL Ordnung sind. Andere ebene Schnittfiguren sind Parallelogone 

 höherer Ordnung. 



') Die vollständige Darstellung dieser Systeme ist in E. G. L. § 57 ausgeführt. 



